ניתוח שולי
ניתוח שולי (באנגלית: Marginal analysis) היא צורת ניתוח המתמקדת בנגזרת של פונקציה או בהפרשים בין כמויות שונות במקום בכמויות עצמן. צורת ניתוח זו היא מאפיין מרכזי בתאוריה הנאו-קלאסית, הזרם המרכזי המשמש לחקר הכלכלה מתחילת המאה ה-20, והיא הנחת יסוד מפורשת בתאוריה זו. מקורות הגישה השולית לכלכלה הינן בתחילתה של התאוריה הנאו-קלאסית, ב-1874 על ידי לאון ואלראס ואחרים.
אם גודל מסויים גדל מ-7 ל-9, הניתוח השולי יתמקד בהפרש בין שני הגדלים האלה - כלומר במספר 2. כלכלנים משתמשים בדרך כלל בניתוח השולי כדי לנסות למצוא נקודות מקסימום ומינימום של פונקציה (כמו מקסימום רווח לפירמות, מקסימום תועלת לצרכנים או לעובדים וכו'). במתמטיקה, נקודת מקסימום של פונקציה רציפה וגזירה היא בעלת נגזרת ששווה ל-0.
יש מספר הנחות שחבויות בגישת הניתוח השולי. הנחה אחת היא קיום של נקודת מקסימום בודדת או במילים אחרות נקודת שיווי משקל יחיד. הנחה אחרת היא כי קל לסוכנים כלכליים גלות את הצורה הכוללת של הפונקציה. הנחה נוספת היא ששינוי קטן בפעולה של שחקן כלכלי, יניב שינוי קטן במערכת הנדונה. דרך אחרת להגיד זאת היא להניח שכל הפונקציות במערכת נתונה הן גזירות, ואפילו בעלות נגזרת שאינה גדולה מידי. כאשר הנחות אלה לא מתקיימות, היישום של ניתוח שולי יכול להוביל לתוצאות מטעות.
לעיתים, מגדירים כלכלנים נאו-קלאסיים את הכלכלה עצמה במונחים של תחום שבו הניתוח השולי מסוגל לעבוד. בהגדרות כמו "כלכלה מתאימה למצבים בהם שינוי קטן גורר תגובה קטנה". לעומת זאת במצבים שמתוארים כבחירה בין גן עדן לגיהנום, הניתוח הכלכלי (הנאו-קלאסי) אמור לא לעבוד. בתיאור של פונקציית התועלת של פון ניומן - מורגנשטיין (בתורת המשחקים) דבר זה מובע במפורש.
דוגמאות לשימוש בניתוח שולי בתאוריה הנאו-קלאסית
כלכלנים נאו-קלאסיים משתמשים בניתוח שולי ככלי מרכזי בתאוריה שלהם. כאשר סוכנים כלכליים צריכים לקבל החלטות, הם לכאורה מפעילים את הכלי של ניתוח שולי. הדבר משמש לשם ניתוח של הגורמים הבאים:
- צרכנים שבוחרים איזה כמות של מוצרים לקנות, ואיזה סוג של מוצרים לקנות - בכלכלה הנאו-קלאסית קיימת הנחה של הנאה שולית יורדת מצריכת מוצר בודד. ההנאה מתוספת כדור גלידה גדולה יותר כאשר עוברים מ-0 כדורי גלידה לכדור גלידה אחד, לעומת תוספת של כדור גלידה שנוסף כשעוברים מכדור הגלידה ה-10 ל-11 היא נמוכה יותר. אם מניחים הנחה דומה על כלל המוצרים ניתן לחשב בשיטה זו כמה כסף הצרכן יוציא - המקום בו פונקציית התועלת השולית שלו תתאפס, ובו יתאזנו ההנאה ממוצרים לעומת אי ההנאה מהוצאת הכסף על המוצרים. באופן דומה התאוריה הנאו-קלאסית מתארת כיצד הצרכן אמור להכריע בין מוצרים שונים - הוא מפעיל לכאורה פונקציה שבה תועלת ממוצר אחד באה על חשבון תועלת ממוצר אחר, ומגיע לכמויות הרצויות על ידי השוואת הנגזרות המתאימות ל-0.
- פירמות שצריכות להחליט איזה כמויות של עובדים והון כדאי להן להעסיק. על פי הניתוח הסטטי הנאו-קלאסי, פירמת יעסיקו את כל גורמי הייצור (הכוונה לעובדים ולמכונות) עד לנקודה שבה התפוקה השולית של כל אחד מהם שווה לאפס. דוגמה מרכזית לשימוש כזה הוא משוואת ייצור קוב-דאגלאס
- משקיעים שצריכים להחליט באיזה אפיק השקעה לבחור (או באיזה פירמה להשקיע בבורסה)- בכל אפיק השקעה יש תשואה חזויה וסיכון. התשואה החזויה נותנת תועלת התלויה גם במקדמי היוון והסיכון גורם ל"תועלת שלילית", פיזור השקעות בין אפיקים שונים מוריד את הסיכון, יש תאוריות השקעה שונות שונות המתארות איפוס של פונקציות תועלת שוליות מהשקעה בצורות שונות, כדי להגיע להשקעה אופטימלית.
- עובדים שצריכים להחליט כמה זמן לעבוד. על פי התאוריה הנאו-קלאסית, המעביד מציע שכר (שנקבע על פי תנאי השוק) והעובד בוחר כמה שעות הוא מוכן לעבוד. הגדלת משך זמן העבודה פירושה שכר גבוה יותר. עם זאת התוספת לשכר אמורה על פי התאוריה לגדול בצורה של הקטנה בערך השולי, כמו כן מניחה התאוריה כי אם התוספת לשכר היא לינארית (שכר קבוע לכל שעת עבודה) התועלת השולית מכסף יורדת. מהצד השני, התועלת מכל שעת פנאי גם מצייתת לחוק תפוקה שולית פוחתת וערכה של שעת פנאי כאשר יש 9 שעות פנאי ביום, גבוה יותר מאשר ערכה של שעת פנאי כשיש 10 שעות פנאי ביום. לכן, כאשר עובדים מחליטים לכאורה כמה שעות עבודה ברצונם לעבוד, הם מפעילים ניתוח שולי שבו הם ממקסמים את התועלת על פני המשתנים של שכר ופנאי, ומגיעים למקסימום כאשר הנגזרת של הפונקציה מתאפסת.
- ניתוח עלויות של פרוייקטים ציבוריים. משרד האוצר מפעיל "נוהל פרט" לגבי פרוייקטים ציבוריים שבהם הוא מפעיל ניתוח שולי כדי לנסות להעריך האם התועלת מפרוייקט מסויים (לדוגמה סלילת כביש חדש או בניית בית ספר חדש) עולה על העלות שדרושה לשם מימון פרוייקט כזה.
ביקורת
הפעלת המתודה בצורה אוניברסלית
אי קיום נקודות אי-גזירות מופיעה כתנאי מפורש לפונקציית התועלת של פון ניומן - מורגנשטיין בתורת המשחקים. למרות עובדה זו כלכלנים בדרך כלל שוכחים תנאי זה מאוחר יותר כאשר הם מיישמים ניתוח של פונקציות רווחה על שאלות של חיים ומוות- כמו נושאי סביבה וקיימות או בעיות ביטוח שעלולות להסתכם בכך. זו דוגמה למצב של פטיש זהב שבו רגילים להשתמש במתודה מסויימת וממשיכים להשתמש בה בצורה אוניברסלית, גם כאשר היא אינה מתאימה.
סיבוכיות גדולה מידי של החישוב
גזירה והשוואת נגזרות היא עניין קל ופשוט כאשר משווים כמות קטנה של מוצרים או ברירות. אבל כאשר כמות סוגי המוצרים גדלה, הסיבוכיות של חישוב נקודת האופטימום עולה בקצב מהיר מאוד. קל לדעת אם אנחנו מעדיפים עוד כדור גלידה על פני עוד עוגייה. אבל קשה להעריך את סל המוצרים האופטימלי עבור צרכן (או מקבל החלטות אחר) אפילו כאשר הבעיה היא פשוטה יחסית - כמו ברירה בין 100 סוגי מוצרים בכמויות של 0 או 1 בלבד (כלומר לבחור מהו הווקטור האופטימלי של 0 ו-1 בווקטור מספרים בן 100 ספרות), וכאשר יש זמן רב לחישוב הבעיה - זמן של אלפי שנים. שכן משך חישוב פתרון הבעיה גדל בגידול מעריכי. להרחבה ראו ביקורת של סטיב קין בתאוריית העדפה הנגלית.
ריבוי נקודות מקסימום
ערך מורחב – שיווי משקל
ניתוח שולי יביא אותנו לנקודת מקסימום (או מינימום) רק אם הפונקציה ידועה לנו במלואה, כלומר לכל קלט מסויים, אנחנו יודעים את הפלט. בהינתן פונקציה כזו, ניתן לחשב את כל נקודות בהן הנגזרת מתאפסת, לבדוק את השיפוע ולראות אם מדובר בנקודת מינימום או מקסימום. יש פונקציות, במיוחד פונקציות רב-מימדיות או פונקציות הקיימות בטבע, שבהן אין נקודת מקסימום בודדת- ריבוי נקודות שיווי משקל.
בדרך כלל בתנאים השוררים בכלכלה לא ניתן לדעת מהי הפונקציה המלאה או מה הקשר המדוייק בין 2 משתנים על פני כל טווח השונות שלהם. אפשר לבדוק כיצד משתנים היחסים בין 2 משתנים בתחום מקומי, אולם קשה לנבא איך יהיו היחסים בין שני המשתנים בהינתן שינוי משמעותי של אחד מהם (ראו בהמשך ביקורת על ערכי סף). כל עוד מניחים קיום יחיד של נקודת מקסימום הדבר לא מהווה בעיה גדולה, אבל בקיום של 2 נקודות מקסימום או יותר ניתן להגיע לנקודה שהיא מקסימום מקומי, אבל נקודה זו אינה בהכרח נקודת מקסימום גלובלית (בהנחה שקיימת נקודה כזו).
דוגמה לכך ניתנת בתחום הדילמה בחלוקת נתיבים ברחובות העיר בין מכוניות לתחבורה ציבורית. תחבורה ציבורית פועלת בצורה טובה כאשר היא רשת. פעילות טובה של קו בודד תעזור רק לחלק קטן מהנסיעות, ותשפר את מצב נוסעי התחבורה הציבורית רק במעט. אם תחבורה של עיר היא מוטת רכב פרטי, הפניית משאבים מועטים לתחבורה ציבורית, כמו הפיכת חלק מהכבישים לנתיבי תחבורה ציבורית, לא תשפר את הרווחה או את זמני הנסיעה הממוצעים. היות ומעט אנשים משתמשים בתחבורה הציבורית במצב זה, והיות וקו בודד לא יכול לתת מענה לתחבורה, התועלת הציבורית תהיה קטנה, ואילו הנזק - כתוצאה מאובדן זמן הנסיעה שיגרם למשתמשי המכוניות (שהם הרוב במצב זה) יהיה גדול. הפניית כל משאבי הכביש למכוניות תיתן מקסימום מקומי.
לעומת זאת, אם חלק ניכר מהכבישים, על פני רשת תחבורה שלמה יהפוך לנתיבי תחבורה ציבורית המצב שונה לגמרי. השינוי הדרסטי במשתנה אחד גורם לשינוי דרסטי במצב. כעת נוח מאוד להשתמש בתחבורה ציבורית, ולא נוח להשתמש ברכב. היות ותחבורה ציבורית יכולה להיות יעילה יותר במונחי אנרגיה והעברת נוסעים בחתך רחוב, זמני הנסיעה הממוצעים מתקצרים, וכמות הכסף שמושקעת בתחבורה יורדת. משום כך, שינוי משמעותי בהקצאת המשאבים יכול להוביל לנקודת מקסימום מקומית אחרת, שבמקרים רבים היא טובה יותר מנקודת המקסימום המקומית הקודמת.
מהספרות המחקרית של תכנון ערים ותחבורה, ומקרים כמו בוגוטה או קוריטיבה ניתן לראות ראיות לקיום מצבים של ריבוי נקודות מקסימום. הדבר מתחזק אם לוקחים בחשבון עלויות חיצוניות של מכונית כמו בזבוז שטח, זיהום אוויר או פגיעה בתחבורה פעילה ובפעילות גופנית.
עם זאת, קשה להבחין בקיום של ריבוי נקודות מקסימום על ידי כלים כלכליים המתמקדים בניתוח שולי. העדפות של צרכנים תלויות בהרגלים, והרגלים משתנים בהדרגה. בנוסף, קשה לבצע בחינה מלאה של פונקציית הרווחה בגלל מחסור במידע מלא. הדבר נכון הן לגבי מידע שחסר לצרכנים (לדוגמה אי מודעות לקשר בין נסיעה במכונית לפגיעה בבריאות בעקבות חשיפה לזיהום אוויר מגזי המפלט של המכונית או מאדי הדלק או להפחתה בפעילות הגופנית). מידע מלא חסר גם למתכנן המרכזי בהקשרים של עלויות או נתונים פיזיים המשפיעים על התועלות - לדוגמה מידע על של מהירויות נסיעה - שכן קשה להעריך את התרומה של רשת תחבורה ציבורית או תחבורת מעברים לפני שרשת כזו מותקנת.
מצב של המצאות בנקודת מקסימום מקומי שאינה נקודת מקסימום גלובלית מכונה בהקשר הטכנולוגי נעילה טכנולוגית - כאשר מעבר לטכנולוגיה מסויימת, טובה יותר (על פי הגדרות שונות) תקוע בגלל הרגלים או מוסדות שתומכים בהמשך שימוש בטכנולוגיה אחרת שכבר נמצאת בשימוש.
שינוי המחירים היחסיים על פני זמן
- ערך מורחב – תהליך
הבעיה של התאמת הניתוח השולי למקרים בהם יש אפשרות של מספר נקודות מקסימום, בעייתית במיוחד כאשר המחירים הכלכליים, החברתיים והסביבתיים עלולים להשתנות עם השנים, כך שהמחירים היחסיים בין נקודות שונות לאורך הפונקציה שאותה מנסים למקסם, ישתנו בעקבות תהליכים חיצוניים.
מנגנון שיא תפוקת הנפט אמור להוביל להתייקרות הנפט, ומנגנונים נוספים דומים עשויים להוביל להתייקרות כללית של מחירי האנרגיה. התחממות עולמית או הצטברות של מזהמים אורגניים יציבים עלולות להגדיל את העלויות של שימוש בדלק רב או של זיהום. טכנולוגיה יכולה לייעל את השימוש בתחבורה ציבורית, או במכוניות (לדוגמה וויז, מוביט ועוד). במצב זה, המחיר היחסי בין נקודת המקסימום של תחבורה מוטת רכב פרטי לבין פיתוח מוטה תחבורה ציבורית עשוי להשתנות, אם נשווה את אותם המחרים היחסיים למחירים היחסיים של 2 הנקודות בשנת 1940 לדוגמה.
מעברי פאזה
ההנחה של ניתוח שולית בעייתית במערכות מורכבות בהן עלול להתקיים מעבר פאזה או חצייה של תנאי סף. מעבר פאזה הוא מצב בו שינוי קטן באחד הפרמטרים במערכת גורר שינוי גדול בתכונותיה. לדוגמה, חימום של מים לא מלוחים מ-5 ל-6 מעלות צלזיוס גורר שינוי קטן בתכונות המערכת. לעומת זאת מעבר מ-0 מעלות צלזיוס ל-1 מעלות צלזיוס מעביר אותנו בין קרח למים, דבר שגורר שינויים רבים בתכונות המערכת: על קרח ניתן להחליק, לקחת אותו ביד, ולבנות ממנו מבנים, ואילו במים ניתן לשתות ולשחות בהם.
מעברי פאזה עלולות להתרחש במערכות סביבתיות וחברתיות. דוגמה במערכות חברתיות היא השפל הגדול של 1929, הבהלה לזהב, המשבר של דרום מזרח אסיה ב-1997, וקריסה של משחק פירמידה. דוגמה למעברי פאזה במערכות ביולוגיות הן לדוגמה קריסת מערכות בגוף המובילה למוות, או קריסה של מערכת אקולוגית. הביולוג ג'ארד דיימונד מביא בספרו התמוטטות דוגמאות היסטוריות של מעברי סף.
במאמר הגישה של כלכלה אקולוגית טוענים ג'ון גאודי וג'ון אריקסון כי הנחה חיונית לניתוח השולי היא ששינוי כלכלי מתבצע באופן הדרגתי ומתמשך. בהקשר של תהליכים אבולוציוניים זו השקפה לא שלמה, שכן תהליכים אלו מאופיינים גם בזעזועים אקראיים ולא שוליים, שמשפיעים על השינוי האבולוציוני במערכות כלכליות וביולוגיות. המחברים מציינים לדוגמה אירועים כמו פגיעת השביט לפני 65 מיליון שנה בכדור הארץ ששינה את הרכב המינים על ידי שינויי אקלים, או את פיגועי 11 בספטמבר ששינו את תחומי העסקים של טיסות וביטוחים. שינוי אבולוציוני מאופיין בהיררכיות של בחירה (אם בוחרים דבר אחד, אי אפשר לבחור מחלקות של דברים אחרים, או שהאפשרות לבחור בהן הופכת לקשה הרבה יותר), המשכיות היסטורית, ואירועים מקריים [1].
המחברים טוענים כי הקיום של שינויים לא-שוליים ושל שינויים איכותיים הם טיעונים חזקים לדחייה של התאוריה המיקרו-כלכלית כבסיס לניתוח מאקרו-כלכלי. [2]
ראו גם
הערות שוליים
- ^ O’Neill, R., De Angelis, D., Waide, J. and Allen, T. 1986. A Hierarchical Concept of Ecosystems, Princeton, N.J., Princeton University Press
- ^ Jeroen C. J. M. van den Bergh and John M. Gowdy, "The microfoundations of macroeconomics: an evolutionary perspective]" Cambridge Journal of Economics 27:65-84 (2003)