שינויים

{{מושג בסיסי}}

{{מושג בסיסי}}

[[קובץ:Exponential.png|thumb|250px|left|גידול מעריכי (קו ירוק) גדל בקצב גדול יותר מאשר פונקציה לינארית (קו אדום) או ריבועית (קו כחול).]]

[[קובץ:Exponential.png|thumb|250px|left|גידול מעריכי (קו ירוק) גדל בקצב גדול יותר מאשר פונקציה לינארית (קו אדום) או ריבועית (קו כחול).]]

'''גידול מעריכי''' (באנגלית: '''Exponential growth''') או '''גידול אקספוננטי''' או '''צמיחה מעריכית''' מתרחש כאשר קצב הגידול של תופעה כלשהי גדל בפרופורציה קבועה שתלויה בערך הנוכחי, לדוגמה קצב גידול של 3% בשנה. שם נוסף גידול כזה הוא '''גידול גאומטרי''' או '''טור גאומטרי'''. מודל הגידול המעריכי ידוע גם '''[[תומס מלתוס|מודל צמיחה מלתוסיאני]]'''. למרות שקצב הגידול הוא קבוע פירוש הדבר שהגודל המוחלט של הנתון מכפיל את עצמו כל כמה פרקי זמן. לדוגמה אוכלוסייה שגדלה בקצב קבוע של 3% פירושו שהאוכלוסייה גדלה פי 2 בכל 25 שנה, לכן אם האוכלוסייה שומרת על קצב גידול קבוע, ומתחילה מגודל של 1 מיליון אז לאחר 25 שנה היא תמנה 2 מיליון איש, לאחר 50 שנה היא תמנה 4 מיליון איש, לאחר 75 שנה 8 מיליון איש וכך הלאה.  

'''גידול מעריכי''' (באנגלית: '''Exponential growth''') או '''גידול אקספוננטי''' או '''צמיחה מעריכית''' מתרחש כאשר קצב הגידול של תופעה כלשהי גדל בפרופורציה קבועה שתלויה בערך הנוכחי, לדוגמה קצב גידול של 3% בשנה. שם נוסף גידול כזה הוא '''גידול גאומטרי''' או '''טור גאומטרי'''. מודל הגידול המעריכי ידוע גם '''[[תומס מלתוס|מודל צמיחה מלתוסיאני]]'''. למרות שקצב הגידול הוא קבוע פירוש הדבר שהגודל המוחלט של הנתון מכפיל את עצמו כל כמה פרקי זמן. לדוגמה אוכלוסייה שגדלה בקצב קבוע של 3% פירושו שהאוכלוסייה גדלה פי 2 בכל 25 שנה, לכן אם האוכלוסייה שומרת על קצב גידול קבוע, ומתחילה מגודל של 1 מיליון אז לאחר 25 שנה היא תמנה 2 מיליון איש, לאחר 50 שנה היא תמנה 4 מיליון איש, לאחר 75 שנה 8 מיליון איש וכך הלאה.

קיימות מספר תכונות של גידול מעריכי שהופכות את הטיפול בבעיות שגדלות בקצב מעריכי לקשות במיוחד. לדוגמה הערכות מערכות בריאות להתמודדות עם מגפה כמו [[קורונה]] היא קשה במיוחד עקב פחד מגידול מעריכי שיגרום לביקוש מהיר למשאבים של מערכת הבריאות כמו ציוד הנשמה ורופאים, עד לקריסת המערכת. החשש בקרב הוגים רבים בזרם ה[[קיימות]] שבעיות עולמיות במספר תחומים שונות כמו [[אוכלוסין]], [[זיהום]], [[משאבים מתחדשים|ניצול משאבי טבע]] או [[משק האנרגיה העולמי|ניצול אנרגיה]], יציבו אתגר גדול מידי לאנושות בגלל תכונות של גידול מעריכי שעלולות להיות להן.  

קיימות מספר תכונות של גידול מעריכי שהופכות את הטיפול בבעיות שגדלות בקצב מעריכי לקשות במיוחד. לדוגמה הערכות מערכות בריאות להתמודדות עם מגפה כמו [[קורונה]] היא קשה במיוחד עקב פחד מגידול מעריכי שיגרום לביקוש מהיר למשאבים של מערכת הבריאות כמו ציוד הנשמה ורופאים, עד לקריסת המערכת. החשש בקרב הוגים רבים בזרם ה[[קיימות]] שבעיות עולמיות במספר תחומים שונות כמו [[אוכלוסין]], [[זיהום]], [[משאבים מתחדשים|ניצול משאבי טבע]] או [[משק האנרגיה העולמי|ניצול אנרגיה]], יציבו אתגר גדול מידי לאנושות בגלל תכונות של גידול מעריכי שעלולות להיות להן.

דוגמאות מפורסמות לגידול מעריכי הן גידול של אוכלוסיית חיידקים, שמרים או חרקים בתוך בית גידול מבודד המכיל מזון, ואין בו גורמים מגבילים כמו טורפים או מחלות. לאוכלוסייה קצב גידול קבוע, המספק זמן הכפלה כלשהו. לאחר כל מחזור הכפלה גדלה האוכלוסייה פי 2. דבר זה נמשך עד אשר לבסוף האוכלוסייה מגיע ל[[פיצוץ אוכלוסין]] שבעקבותיו היא גוועת ב[[רעב המוני|רעב]] או [[זיהום|מרעילה]] את עצמה למוות בגלל חומרי פסולת שמצטברים. אפשרות אחרת היא מוות של חלק גדול מהאוכלוסייה כאשר חלק מהאוכלוסייה נכנס למצב של תרדמה או צאצאים במצב עמיד (כמו נבגים) בציפייה לשיפור עתידי בתנאים.  

דוגמאות מפורסמות לגידול מעריכי הן גידול של אוכלוסיית חיידקים, שמרים או חרקים בתוך בית גידול מבודד המכיל מזון, ואין בו גורמים מגבילים כמו טורפים או מחלות. לאוכלוסייה קצב גידול קבוע, המספק זמן הכפלה כלשהו. לאחר כל מחזור הכפלה גדלה האוכלוסייה פי 2. דבר זה נמשך עד אשר לבסוף האוכלוסייה מגיע ל[[פיצוץ אוכלוסין]] שבעקבותיו היא גוועת ב[[רעב המוני|רעב]] או [[זיהום|מרעילה]] את עצמה למוות בגלל חומרי פסולת שמצטברים. אפשרות אחרת היא מוות של חלק גדול מהאוכלוסייה כאשר חלק מהאוכלוסייה נכנס למצב של תרדמה או צאצאים במצב עמיד (כמו נבגים) בציפייה לשיפור עתידי בתנאים.

גידול מעריכי קשור ל[[לולאת משוב מחזקת]] לדוגמה בהכפלת חיידקים, לולאת המשוב היא שבדור הבא יש לא רק יותר חיידקים אלא גם יותר חיידקים שמסוגלים להכפיל את עצמם. תהליכים מתמטיים שמתקיימים במישור המתמטי בלבד, יכולים לגדול באופן מעריכי. מספרים גדולים שבני אדם מתקשים לתפוס אותם (כמו גוגול או גוגולפלקס) הם נקודת ציון בתחילת הדרך עבור גידול מעריכי, שיכול להשיג כל מספר סופי בהתן זמן מספיק וקצב הכפלה מספיק מהיר. לעומת זאת [[תהליך|תהליכים]] טבעיים שמתרחשים במציאות תמיד דורשים נוכחות של חומר ואנרגיה ולכן הם כפופים ל[[תרמודינמיקה|חוקי התרמודינמיקה]] שמגבילים בשלב מסויים את תהליך הגידול - בין אם בגלל מגבלה של מאסה, בגלל מגבלה של [[אקסרגיה|אנרגיה זמינה]] או בגלל מגבלות אחרות שהן ביטוי לקושי לשמור על [[ארגון עצמי]]. כך לדוגמה גידול חיידקים נראה כמו גידול מעריכי בשלב הראשון אבל בשלבים מאוחרים יותר נכנסות [[לולאות משוב מחלישות]] שמאטות את תהליך הגידול ועוצרות אותו לגמרי - בדרך כלל הסיבה בחיידקים היא גמר המזון הזמין להם או כניסה של גורם שמתחרה איתם על המזון או טורף אותם.  

גידול מעריכי קשור ל[[לולאת משוב מחזקת]] לדוגמה בהכפלת חיידקים, לולאת המשוב היא שבדור הבא יש לא רק יותר חיידקים אלא גם יותר חיידקים שמסוגלים להכפיל את עצמם. תהליכים מתמטיים שמתקיימים במישור המתמטי בלבד, יכולים לגדול באופן מעריכי. מספרים גדולים שבני אדם מתקשים לתפוס אותם (כמו גוגול או גוגולפלקס) הם נקודת ציון בתחילת הדרך עבור גידול מעריכי, שיכול להשיג כל מספר סופי בהינתן זמן מספיק וקצב הכפלה מספיק מהיר. לעומת זאת [[תהליך|תהליכים]] טבעיים שמתרחשים במציאות תמיד דורשים נוכחות של חומר ואנרגיה ולכן הם כפופים ל[[תרמודינמיקה|חוקי התרמודינמיקה]] שמגבילים בשלב מסויים את תהליך הגידול - בין אם בגלל מגבלה של מאסה, בגלל מגבלה של [[אקסרגיה|אנרגיה זמינה]] או בגלל מגבלות אחרות שהן ביטוי לקושי לשמור על [[ארגון עצמי]]. כך לדוגמה גידול חיידקים נראה כמו גידול מעריכי בשלב הראשון אבל בשלבים מאוחרים יותר נכנסות [[לולאות משוב מחלישות]] שמאטות את תהליך הגידול ועוצרות אותו לגמרי - בדרך כלל הסיבה בחיידקים היא גמר המזון הזמין להם או כניסה של גורם שמתחרה איתם על המזון או טורף אותם.

ככל הנראה, [[גידול אוכלוסיית העולם]] לא מקיים גידול מעריכי, בגלל שרמת הפריון של אישה ממוצעת יורדת עם השנים בכל מדינות העולם. כך ש[[אוכלוסיית העולם]] האוכלוסייה תגדל ככל הנראה בצורת [[פונקציית סיגמואיד|עקומה הדומה ל-S]]. עם זאת, בגלל גידול גדל בצריכת משאבים לנפש וב[[טביעת הרגל האקולוגית]], משתנים רבים המתארים את ההשפעה המצטברת של בני האדם על הטבע - כמו הרס [[מערכות אקולוגיות]], [[הכחדת מינים]], צריכת [[משאבים מתכלים]] או התערבות ב[[מחזור החנקן]] עלולים להיות בעלי צמיחה מעריכית. ראו [[גבולות פלנטריים]]

ככל הנראה, [[גידול אוכלוסיית העולם]] לא מקיים גידול מעריכי, בגלל שרמת הפריון של אישה ממוצעת יורדת עם השנים בכל מדינות העולם. כך ש[[אוכלוסיית העולם]] האוכלוסייה תגדל ככל הנראה בצורת [[פונקציית סיגמואיד|עקומה הדומה ל-S]]. עם זאת, בגלל גידול גדל בצריכת משאבים לנפש וב[[טביעת הרגל האקולוגית]], משתנים רבים המתארים את ההשפעה המצטברת של בני האדם על הטבע - כמו הרס [[מערכות אקולוגיות]], [[הכחדת מינים]], צריכת [[משאבים מתכלים]] או התערבות ב[[מחזור החנקן]] עלולים להיות בעלי צמיחה מעריכית. ראו [[גבולות פלנטריים]]

==תכונות==

==תכונות==

===חישוב מחזור ההכפלה מאחוז גידול תקופתי קבוע===

===חישוב מחזור ההכפלה מאחוז גידול תקופתי קבוע===

מחזור הכפלה הוא כמות השנים שעוברת (או כמות התקופות שעוברת) שבה גודל מסויים גדל פי 2 או יותר.  

מחזור הכפלה הוא כמות השנים שעוברת (או כמות התקופות שעוברת) שבה גודל מסויים גדל פי 2 או יותר.

כלל אצבע המספק קירוב לאורך מחזור ההכפלה הוא חלוקת המספר 70 באחוז הגידול התקופתי. כך לדוגמה קצב גידול קבוע של 2% בשנה, נותן מחזור הכפלה של כ-35 שנה. קצב גידול קבוע של 3% נותן מחזור הכפלה של 25 שנה, קצב גידול של 7% בשנה, נותן מחזור הכפלה של 10 שנים, וקצב גידול של 10% נותן מחזור הכפלה של 7 שנים.  

כלל אצבע המספק קירוב לאורך מחזור ההכפלה הוא חלוקת המספר 70 באחוז הגידול התקופתי. כך לדוגמה קצב גידול קבוע של 2% בשנה, נותן מחזור הכפלה של כ-35 שנה. קצב גידול קבוע של 3% נותן מחזור הכפלה של 25 שנה, קצב גידול של 7% בשנה, נותן מחזור הכפלה של 10 שנים, וקצב גידול של 10% נותן מחזור הכפלה של 7 שנים.

===קצב גידול עצום ובלתי נתפס===

===קצב גידול עצום ובלתי נתפס===

מבחינה אינטואיטיבית לרוב בני האדם קשה מאוד לתפוס את המהירות של קצב גידול מעריכי. לדוגמה רוב האנשים מתקשים להעריך את סדר הגודל של מספר ההכפלות הדרושות כדי לבנות מגדל של שטרות בעובי מילימטר אחד שיגיע מכדור הארץ עד לירח (מרחק של 380,000 ק"מ) - 42 הכפלות.  

מבחינה אינטואיטיבית לרוב בני האדם קשה מאוד לתפוס את המהירות של קצב גידול מעריכי. לדוגמה רוב האנשים מתקשים להעריך את סדר הגודל של מספר ההכפלות הדרושות כדי לבנות מגדל של שטרות בעובי מילימטר אחד שיגיע מכדור הארץ עד לירח (מרחק של 380,000 ק"מ) - 42 הכפלות.

גידול אוכלוסיית העולם - קצב גידול של 1.1 אחוז בשנה בקצב קבוע גורם לכך שהמאסה האנושית מגיעה למאסת הייקום הנצפה (כולל כל הכוכבים, הגלקסיות וכו') בתוך כ-10,000 שנה.  

גידול אוכלוסיית העולם - קצב גידול של 1.1 אחוז בשנה בקצב קבוע גורם לכך שהמאסה האנושית מגיעה למאסת הייקום הנצפה (כולל כל הכוכבים, הגלקסיות וכו') בתוך כ-10,000 שנה.  

===קושי לתפוס את התופעה ולפעול מולה===

===קושי לתפוס את התופעה ולפעול מולה===

בתופעות בעלות זמן הכפלה מהיר, קשה להבחין בתופעה שעלולה להיות בעייתית עד לשלב מאוחר מאוד שלה. דוגמה מפורסמת היא חבצלות מים שגדלות באגם ומכפילות את כמותן בכל שבוע. אם נניח שיתרחש אסון אקולוגי כאשר חבצלות המים יכסו 100% משטח האגם, עולה השאלה מתי יגלו בני אדם השוכנים לחוף האגם את קיום הבעיה, ויפעלו מולה. אם נניח שהם ערניים ומגלים את הבעיה כאשר חבצלות המים מכסות 6% משטח האגם, הדבר מעניק להם 4 שבועות בלבד להגיע להסכמה על מהות הבעיה ועל הדרך לפתור אותה. בגלל התכונה של גידול מעריכי, סך הגידול בתקופת ההכפלה האחרונה שווה לסך כל הגידול לפניו, פירוש הדבר שבעיות יכולות לצאת מכלל שליטה בצורה מהירה בלי שהדבר יתגלה אלא בשלב מאוחר מאוד.

בתופעות בעלות זמן הכפלה מהיר, קשה להבחין בתופעה שעלולה להיות בעייתית עד לשלב מאוחר מאוד שלה. דוגמה מפורסמת היא חבצלות מים שגדלות באגם ומכפילות את כמותן בכל שבוע. אם נניח שיתרחש אסון אקולוגי כאשר חבצלות המים יכסו 100% משטח האגם, עולה השאלה מתי יגלו בני אדם השוכנים לחוף האגם את קיום הבעיה, ויפעלו מולה. אם נניח שהם ערניים ומגלים את הבעיה כאשר חבצלות המים מכסות 6% משטח האגם, הדבר מעניק להם 4 שבועות בלבד להגיע להסכמה על מהות הבעיה ועל הדרך לפתור אותה. בגלל התכונה של גידול מעריכי, סך הגידול בתקופת ההכפלה האחרונה שווה לסך כל הגידול לפניו, פירוש הדבר שבעיות יכולות לצאת מכלל שליטה בצורה מהירה בלי שהדבר יתגלה אלא בשלב מאוחר מאוד.  

שטח אגם הכינרת הוא 166 ק"מ רבועים או 166 מיליון מטרים רבועים. אם נניח ששטח כל שושנת מים הוא מטר אחד וזמן הכפלה של שבוע, יקח לשושנה בודדת 24 שבועות לכסות שטח של 8 קמ"ר שהם כ-6%, דבר זה משאיר 4 שבועות לכיסוי מלא של האגם בשושנות מים. דבר זה מחריף אם מניחים כי ייתכן גידול בקצב הגידול. אם נניח קצב הכפלה חודשי של השושנה, יקח לה יותר משנתיים להגיע לכיסוי של 8 קמ"ר. אם מסיבה כלשהי קצב הגידול עצמו גדל פי 4, כך שזמן ההכפלה חוזר להיות שבוע, יוותרו לתושבים 4 שבועות בלבד לטיפול בבעיה. בעיות סביבתיות רבות בעולם מאופיינות בגידול איטי מאוד במשך מיליוני שנים, ואז גידול בקצב ההכפלה במאות השנים האחרונות.

שטח אגם הכינרת הוא 166 ק"מ רבועים או 166 מיליון מטרים רבועים. אם נניח ששטח כל שושנת מים הוא מטר אחד וזמן הכפלה של שבוע, יקח לשושנה בודדת 24 שבועות לכסות שטח של 8 קמ"ר שהם כ-6%, דבר זה משאיר 4 שבועות לכיסוי מלא של האגם בשושנות מים. דבר זה מחריף אם מניחים כי ייתכן גידול בקצב הגידול. אם נניח קצב הכפלה חודשי של השושנה, יקח לה יותר משנתיים להגיע לכיסוי של 8 קמ"ר. אם מסיבה כלשהי קצב הגידול עצמו גדל פי 4, כך שזמן ההכפלה חוזר להיות שבוע, יוותרו לתושבים 4 שבועות בלבד לטיפול בבעיה. בעיות סביבתיות רבות בעולם מאופיינות בגידול איטי מאוד במשך מיליוני שנים, ואז גידול בקצב ההכפלה במאות השנים האחרונות.

ביולוגיה יכולה לתת דוגמא עד כמה גידול מעריכי הוא דבר שקשה לתפוס אותו, או להתמודד מולו:

ביולוגיה יכולה לתת דוגמא עד כמה גידול מעריכי הוא דבר שקשה לתפוס אותו, או להתמודד מולו:

נניח שיש לנו חיידק שמתרבה כל שעה. הוא משתכפל ונוצרים שני חיידקים באותו גודל. הגודל של חיידק בודד כזה הוא 3 מיקרו-מטר (מיליונית המטר). לכן צריך לשים 333 חיידקים צמודים זה לזה בשורה כדי ליצור פס חיידקים באורך מילימטר אחד. המרחק מכדור הארץ אל השמש הוא 150 מיליון ק"מ. כעבור כמה זמן של גידול בקצב קבוע - גידול מעריכי, של הכפלה כל שעה, יהיו לנו די חיידקים כדי שנוכל לבנות גשר של חיידקים בין כדור הארץ לשמש?  

נניח שיש לנו חיידק שמתרבה כל שעה. הוא משתכפל ונוצרים שני חיידקים באותו גודל. הגודל של חיידק בודד כזה הוא 3 מיקרו-מטר (מיליונית המטר). לכן צריך לשים 333 חיידקים צמודים זה לזה בשורה כדי ליצור פס חיידקים באורך מילימטר אחד. המרחק מכדור הארץ אל השמש הוא 150 מיליון ק"מ. כעבור כמה זמן של גידול בקצב קבוע - גידול מעריכי, של הכפלה כל שעה, יהיו לנו די חיידקים כדי שנוכל לבנות גשר של חיידקים בין כדור הארץ לשמש?

התשובה היא שתוך 56 שעות, כלומר יומיים ו-8 שעות, יוכלו חיידקים שיעמדו צמודים זה לזה להגיע למרחק של 260 מיליון ק"מ. די והותר כדי להגיע מכדור הארץ אל השמש.<ref name="germs">[https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AqixvTVhWr1YdGFJeUZGMVNKVWRUdXVaYkEweWk1cHc&usp=sharing גשר חיידקים בגודל הגלקסיה] </ref> להלן פירוט התשובה.  

התשובה היא שתוך 56 שעות, כלומר יומיים ו-8 שעות, יוכלו חיידקים שיעמדו צמודים זה לזה להגיע למרחק של 260 מיליון ק"מ. די והותר כדי להגיע מכדור הארץ אל השמש.<ref name="germs">[https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AqixvTVhWr1YdGFJeUZGMVNKVWRUdXVaYkEweWk1cHc&usp=sharing גשר חיידקים בגודל הגלקסיה] </ref> להלן פירוט התשובה.

{| {{table}}

{| {{table}}

| align="center" style="background:#f0f0f0;"|'''הנתון'''

| align="center" style="background:#f0f0f0;"|'''הנתון'''

לשם הקמת קובייה ענקית בעלת צלעות באורך גלקסיית שביל החלב, ידרש זמן גדול פי 3 יחסית להקמת צלע באורך הגלקסיה. קודם נבנה צלע, לאחר מכן ריבוע בעובי חיידק אחד ולבסוף ניתן לכל חיידק בריבוע להשתכפל וליצור גשר חיידקים באורך הגלקסיה על ציר העומק. הדבר ידרוש רק פי 3 זמן יחסית לצלע באורך הגלקסיה, כלומר 267 שעות, שהם 11 ימים ו-3 שעות. <ref name="germs"/>  

לשם הקמת קובייה ענקית בעלת צלעות באורך גלקסיית שביל החלב, ידרש זמן גדול פי 3 יחסית להקמת צלע באורך הגלקסיה. קודם נבנה צלע, לאחר מכן ריבוע בעובי חיידק אחד ולבסוף ניתן לכל חיידק בריבוע להשתכפל וליצור גשר חיידקים באורך הגלקסיה על ציר העומק. הדבר ידרוש רק פי 3 זמן יחסית לצלע באורך הגלקסיה, כלומר 267 שעות, שהם 11 ימים ו-3 שעות. <ref name="germs"/>  

הדוגמאות האלה ממחישות כמה גידול מעריכי הוא דבר עצום - עם קצב השכפול המתאים, ועם הזנחה של מגבלות שונות על קצב גידול זה כמו מהירות האור או אנרגיה, אנחנו מצליחים להגיע מאחד הדברים הקטנים ביותר בקיום שלנו - חיידק שאנחנו לא מסוגלים לראות בכלל, לגלקסיה שהיא כה עצומה ביחס אלינו עד שידרשו לנו אלפי שנים להגיע להיקף שלה גם אם היינו יכולים לנסוע במהירות האור. דוגמה זו גם ממחישה מדוע גם בהנתן דבר קטן מאד כמו חיידק, תהליכים טבעיים לאורך זמן בעצם גדלים לא בגידול מעריכי אלא כפונקציה דמויית S - שכן תמיד קיימת מגבלת משאבים שקיומה לא משמעותי בשלבים הראשונים של התהליך אבל הופכת להיות משמעותית יותר ויותר בשלבים מאוחרים יותר.

הדוגמאות האלה ממחישות כמה גידול מעריכי הוא דבר עצום - עם קצב השכפול המתאים, ועם הזנחה של מגבלות שונות על קצב גידול זה כמו מהירות האור או אנרגיה, אנחנו מצליחים להגיע מאחד הדברים הקטנים ביותר בקיום שלנו - חיידק שאנחנו לא מסוגלים לראות בכלל, לגלקסיה שהיא כה עצומה ביחס אלינו עד שידרשו לנו אלפי שנים להגיע להיקף שלה גם אם היינו יכולים לנסוע במהירות האור. דוגמה זו גם ממחישה מדוע גם בהינתן דבר קטן מאד כמו חיידק, תהליכים טבעיים לאורך זמן בעצם גדלים לא בגידול מעריכי אלא כפונקציה דמויית S - שכן תמיד קיימת מגבלת משאבים שקיומה לא משמעותי בשלבים הראשונים של התהליך אבל הופכת להיות משמעותית יותר ויותר בשלבים מאוחרים יותר.

==מגבלות על גידול מעריכי==

==מגבלות על גידול מעריכי==

גידול מעריכי אמיתי ניתן לתאור רק במישור המתמטי הטהור הבנוי רק ממספרים. אפילו ביקום כזה, קשה לנו לתאר גידול מעריכי לאורך זמן. נוסחה מתמטית יכולה לתאר גידול מעריכי, אבל אם נרצה לתאר את הערכים המתקבלים מפקונציה מעריכית, נגיע לאחר זמן מה לערכים גבוהים מאד שהתאור המדוייק שלהם ידרוש משאבי טבע עצומים. דוגמה למספרים גדולים הם המספרים גוגול גוגולפלקס. הייצוג של המספר מיליארד במערכת מספרים עשרונית הוא 1 עם 9 אפסים אחריו. גוגול מיוצג על 1 עם מאה אפסים אחריו או עשר בחזקת 100. לשם השוואה - מעריכים שיש ביקום הנראה פחות מ 10 בחזקת חלקיקים יסודיים בודדים. גוגולפלקס הוא מספר גדול בהרבה והוא עשר בחזקת גוגל. כדי לכתוב את הייצוג העשרוני על נייר יש צורך להקיף את כדור הארץ מספר פעמים. למרות גודלם של מספרים אלה, כל תהליך של גידול מעריכי יעבור את המספרים האלה בשלב כלשהו ובהנתן זמן מספיק יגיע למספרים גדולים בהרבה.  

גידול מעריכי אמיתי ניתן לתאור רק במישור המתמטי הטהור הבנוי רק ממספרים. אפילו ביקום כזה, קשה לנו לתאר גידול מעריכי לאורך זמן. נוסחה מתמטית יכולה לתאר גידול מעריכי, אבל אם נרצה לתאר את הערכים המתקבלים מפונקוציה מעריכית, נגיע לאחר זמן מה לערכים גבוהים מאד שהתיאור המדוייק שלהם ידרוש משאבי טבע עצומים. דוגמה למספרים גדולים הם המספרים גוגול גוגולפלקס. הייצוג של המספר מיליארד במערכת מספרים עשרונית הוא 1 עם 9 אפסים אחריו. גוגול מיוצג על 1 עם מאה אפסים אחריו או עשר בחזקת 100. לשם השוואה - מעריכים שיש ביקום הנראה פחות מ 10 בחזקת חלקיקים יסודיים בודדים. גוגולפלקס הוא מספר גדול בהרבה והוא עשר בחזקת גוגל. כדי לכתוב את הייצוג העשרוני על נייר יש צורך להקיף את כדור הארץ מספר פעמים. למרות גודלם של מספרים אלה, כל תהליך של גידול מעריכי יעבור את המספרים האלה בשלב כלשהו ובהינתן זמן מספיק יגיע למספרים גדולים בהרבה.

בעולם המציאות כל העצמים מסביבו בנויים מאטומים, שבנויים מחלקיקים אלמנטריים, ולכן המגבלה התאורטית העליונה על תהליכים אלה היא מספר החלקיקים האלמנטריים בייקום הנצפה או עשר בחזקת 87. בדרך כלל קיימות מגבלות רבות נוספות. לדוגמה אם נניח שיש לנו תהליך שיכול לנצל את כל החומר ביקום, עדיין לוקח זמן להגיע אל כוכבים אחרים - מהירות האור היא מגבלה אחרת על גידול מעריכי - לכן לכל תהליך שמוגבל על ידי מהירות האור והוא מתחיל במערכת השמש תהיה מגבלת חומר של החומר הזמין במערכת השמש ולא יותר, רוב החומר הזמין האחר של היקום ימצא במרחק של 4 שנות אור לפחות מאיתנו. בנוסף - רוב המסה במערכת השמש נמצאת בשמש עצמה - מימן והליום בטמפרטורה של אלפי מעלות - תהליך שידרוש את מסה גדלה הולכת של חלקיקים יהיה מוגבל כנראה לחומר שניתן להפיק מכוכבי לכת. כמו כן רוב הדברים הדברים שאנו יכולים לגעת בהם לא עשויים רק ממימן - הם עשויים גם מיסודות אחרים כמו פחמן או זרחן שהכמות שלהם נמוכה בהרבה ממסת המימן במערכת השמש.

בעולם המציאות כל העצמים מסביבו בנויים מאטומים, שבנויים מחלקיקים אלמנטריים, ולכן המגבלה התאורטית העליונה על תהליכים אלה היא מספר החלקיקים האלמנטריים בייקום הנצפה או עשר בחזקת 87. בדרך כלל קיימות מגבלות רבות נוספות. לדוגמה אם נניח שיש לנו תהליך שיכול לנצל את כל החומר ביקום, עדיין לוקח זמן להגיע אל כוכבים אחרים - מהירות האור היא מגבלה אחרת על גידול מעריכי - לכן לכל תהליך שמוגבל על ידי מהירות האור והוא מתחיל במערכת השמש תהיה מגבלת חומר של החומר הזמין במערכת השמש ולא יותר, רוב החומר הזמין האחר של היקום ימצא במרחק של 4 שנות אור לפחות מאיתנו. בנוסף - רוב המסה במערכת השמש נמצאת בשמש עצמה - מימן והליום בטמפרטורה של אלפי מעלות - תהליך שידרוש את מסה גדלה הולכת של חלקיקים יהיה מוגבל כנראה לחומר שניתן להפיק מכוכבי לכת. כמו כן רוב הדברים הדברים שאנו יכולים לגעת בהם לא עשויים רק ממימן - הם עשויים גם מיסודות אחרים כמו פחמן או זרחן שהכמות שלהם נמוכה בהרבה ממסת המימן במערכת השמש.

להלן מספר סדרי גודל למסה של גופים גדולים. מסת כדור הארץ היא ‎5.97×10²⁴ קילוגרם, מסת השמש מסומנת לרוב ב- <math>M_{\odot}</math>. ומוערכת ב-1.9891x10³⁰ קילוגרם. מסה זו גדולה בערך פי 330 אלף פעמים המסה של כדור הארץ. מסת גלקסיית שביל החלב מוערכת כיום כ-5.8x10¹¹ מסות שמש, שהם כ-1.14x10⁴² קילוגרם. מסת הייקום הנצפה- שכוללת את כל מיליארדי הגלקסיות שאנו יכולים לצפות בהם כוללת מסה בגודל של כ-כ-1.5x10⁵³ קילוגרם. לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה, קיים שימור חומר-אנרגיה - כלומר לא ניתן ליצור חומר-אנרגיה יש מאין. כל תהליך הכולל עצמים פיזיים - כלומר כזה המערב בני אדם, חיידקים, צמחים, מחשבים, מכונות וכו' יהיה מוגבל לכל הפחות על ידי המסה העומדת לרשותנו.

להלן מספר סדרי גודל למסה של גופים גדולים. מסת כדור הארץ היא ‎5.97×10²⁴ קילוגרם, מסת השמש מסומנת לרוב ב- <math>M_{\odot}</math>. ומוערכת ב-1.9891x10³⁰ קילוגרם. מסה זו גדולה בערך פי 330 אלף פעמים המסה של כדור הארץ. מסת גלקסיית שביל החלב מוערכת כיום כ-5.8x10¹¹ מסות שמש, שהם כ-1.14x10⁴² קילוגרם. מסת הייקום הנצפה- שכוללת את כל מיליארדי הגלקסיות שאנו יכולים לצפות בהם כוללת מסה בגודל של כ-כ-1.5x10⁵³ קילוגרם. לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה, קיים שימור חומר-אנרגיה - כלומר לא ניתן ליצור חומר-אנרגיה יש מאין. כל תהליך הכולל עצמים פיזיים - כלומר כזה המערב בני אדם, חיידקים, צמחים, מחשבים, מכונות וכו' יהיה מוגבל לכל הפחות על ידי המסה העומדת לרשותנו.

מגבלות מציאותיות יותר של תהליכים טבעיים נובעים מ[[החוק השני של התרמודינמיקה]]. כל מערכת מעניינית מספיק - כמו וירוסים, חיידקים, מושבות חיידקים, בעלי חיים, צמחים, בני אדם, מחשבים, מכונות, ערים, מוסדות חברתיים היא מערכת שיש בה סדר פנימי כלשהו שחיוני לתפקוד שלה. כאשר סדר פנימי זה מפסיק להתקיים אנחנו מדברים על מוות של אותה מערכת. כדי לשמור על סדר פנימי זה יש צורך בהשקעה מתמדת של [[אקסריה]] - אנרגיה זמינה לעבודה, שלרוב מקורה הוא מהשמש ([[אנרגיה סולארית]]) או במערכות אנושיות במאות השנים האחרונות - מגלגול של אנרגיה זו בצורה של [[דלק מאובנים]]. המשותף לכל המערכות האלה הוא שהן סוג של [[מערכת דיאספטית]] שבה סדר פנימי דורש השקעה מתמקדת של אנרגיה שמתפזרת החוצה לאחר מכן כחום.  

מגבלות מציאותיות יותר של תהליכים טבעיים נובעים מ[[החוק השני של התרמודינמיקה]]. כל מערכת מעניינית מספיק - כמו וירוסים, חיידקים, מושבות חיידקים, בעלי חיים, צמחים, בני אדם, מחשבים, מכונות, ערים, מוסדות חברתיים היא מערכת שיש בה סדר פנימי כלשהו שחיוני לתפקוד שלה. כאשר סדר פנימי זה מפסיק להתקיים אנחנו מדברים על מוות של אותה מערכת. כדי לשמור על סדר פנימי זה יש צורך בהשקעה מתמדת של [[אקסריה]] - אנרגיה זמינה לעבודה, שלרוב מקורה הוא מהשמש ([[אנרגיה סולארית]]) או במערכות אנושיות במאות השנים האחרונות - מגלגול של אנרגיה זו בצורה של [[דלק מאובנים]]. המשותף לכל המערכות האלה הוא שהן סוג של [[מערכת דיאספטית]] שבה סדר פנימי דורש השקעה מתמקדת של אנרגיה שמתפזרת החוצה לאחר מכן כחום.  

הגידול המעריכי לכאורה של תהליכים רבים קשור לקיום של לולאת משוב מחזקת ולשפע של חומרי גלם זמינים ואנרגיה שיכולה לתדלק הלאה את התהליך הנתון - לדוגמה לחיידקים בצלחת פטרי יש שפע של מאגרי מזון נתונים. ככל שאנחנו מתקדמים בתהליך הגידול, נכנסות עוד ועוד מגבלות על התהליך, או התחזקות של לולאת משוב מחלישה אחת לכל הפחות. לדוגמה המזון הזמין בצלחת הפטרי נגמר ומגביל את גידול החיידקים. אם נוכל להתעלם ממגבלה זו על ידי הזרמה מתמדת של מזון נוזלי לצלחת תכנס, מגבלה נוספת והיא מגבלת מקום. מגבלה אחרת יכולה להיות פינוי של פסולת, כניסה של טורפים או תחרות פנימית בין החיידקים בשאלה מי מהם יתרבה בקצב מהיר או יעיל יותר. אם נניח שמקום אינו מגבלה כלל -נניח חיידקים המסוגלים לגדול בחלל החיצון ולא בצלחת פטרי, נגלה שמגבלת המזון היא מגבלה קשה יותר ממה שחשבנו - שכן בסופו של דבר הפקת מזון זה תלויה באור השמש, וקצב הספקת המזון למושבת הענק של החיידקים תלוי בקצב זרימת אור השמש.

הגידול המעריכי לכאורה של תהליכים רבים קשור לקיום של לולאת משוב מחזקת ולשפע של חומרי גלם זמינים ואנרגיה שיכולה לתדלק הלאה את התהליך הנתון - לדוגמה לחיידקים בצלחת פטרי יש שפע של מאגרי מזון נתונים. ככל שאנחנו מתקדמים בתהליך הגידול, נכנסות עוד ועוד מגבלות על התהליך, או התחזקות של לולאת משוב מחלישה אחת לכל הפחות. לדוגמה המזון הזמין בצלחת הפטרי נגמר ומגביל את גידול החיידקים. אם נוכל להתעלם ממגבלה זו על ידי הזרמה מתמדת של מזון נוזלי לצלחת תכנס, מגבלה נוספת והיא מגבלת מקום. מגבלה אחרת יכולה להיות פינוי של פסולת, כניסה של טורפים או תחרות פנימית בין החיידקים בשאלה מי מהם יתרבה בקצב מהיר או יעיל יותר. אם נניח שמקום אינו מגבלה כלל - נניח חיידקים המסוגלים לגדול בחלל החיצון ולא בצלחת פטרי, נגלה שמגבלת המזון היא מגבלה קשה יותר ממה שחשבנו - שכן בסופו של דבר הפקת מזון זה תלויה באור השמש, וקצב הספקת המזון למושבת הענק של החיידקים תלוי בקצב זרימת אור השמש.

==דוגמאות לגידול מעריכי בתחומים שונים==

==דוגמאות לגידול מעריכי בתחומים שונים==

===ביולוגיה===

===ביולוגיה===

* מספר המיקרו-אורגניזמים שחיים בצלחת פטרי יגדל בצורה מעריכית עד לכילוי של חומר תזונתי חיוני. באופן כללי החיידק הראשון מתפצל ל-2 חיידקים, אלו מתחלקים ל-4 וכו', בדרך כלל הדבר נעשה בזמני התחלקות קבועים.  

* מספר המיקרו-אורגניזמים שחיים בצלחת פטרי יגדל בצורה מעריכית עד לכילוי של חומר תזונתי חיוני. באופן כללי החיידק הראשון מתפצל ל-2 חיידקים, אלו מתחלקים ל-4 וכו', בדרך כלל הדבר נעשה בזמני התחלקות קבועים.

* נגיף (לדוגמה אבעבועות, סארס, [[קורונה]] וכו') מתפשט בדרך כלל בצורה מעריכית אם אין גורם מלאכותי (כמו חיסון או בידוד) שמגביל אותו. כל נשא של הנגיף יכול להדביק כמה אנשים חדשים.  

* נגיף (לדוגמה אבעבועות, סארס, [[קורונה]] וכו') מתפשט בדרך כלל בצורה מעריכית אם אין גורם מלאכותי (כמו חיסון או בידוד) שמגביל אותו. כל נשא של הנגיף יכול להדביק כמה אנשים חדשים.  

* [[אוכלוסיית העולם|האוכלוסייה האנושית]], אם מספר הלידות ומקרי המוות לאדם לשנה נשארת באותה רמה (ראו גם [[גידול לוגריתמי]]) - אם כי תרחיש זה אינו מדוייק - ראו בהמשך.  

* [[אוכלוסיית העולם|האוכלוסייה האנושית]], אם מספר הלידות ומקרי המוות לאדם לשנה נשארת באותה רמה (ראו גם [[גידול לוגריתמי]]) - אם כי תרחיש זה אינו מדוייק - ראו בהמשך.  

;מדעי המחשב:

;מדעי המחשב:

* כוח החישוב של מחשבים - הכפלת כוח החישוב של מחשבים בכל מספר שנים. דבר הידוע בשם חוק מור. קיימות מגבלות תאורטיות על יכולת החישוב של מחשבים לדוגמה - גם אם נדמיין מחשב מהיר מאד, מהירות התקשרות במחשב זה תהיה מוגבלת על ידי מהירות האור, והפעלתו תדרוש אנרגיה וחומר - דברים שיוצרים מגבלות של משאבים מצד אחד ושל העלאת הטמפרטורה הפנימית מצד שני.  

* כוח החישוב של מחשבים - הכפלת כוח החישוב של מחשבים בכל מספר שנים. דבר הידוע בשם חוק מור. קיימות מגבלות תאורטיות על יכולת החישוב של מחשבים לדוגמה - גם אם נדמיין מחשב מהיר מאד, מהירות התקשרות במחשב זה תהיה מוגבלת על ידי מהירות האור, והפעלתו תדרוש אנרגיה וחומר - דברים שיוצרים מגבלות של משאבים מצד אחד ושל העלאת הטמפרטורה הפנימית מצד שני.

* בתאוריה של סיבוכיות חישובים, אלגוריתמים שונים בעלי סיבוכיות מעריכית דורשים הגדלה מעריכית של משאבי חישוב (זכרון, זמן, מהירות מעבד) עבור גידול לינארי בגדולה של הבעיה. כך שבעיה שזמן הפתרון שלה עבור X=10 יהיה 10 שניות, תדרוש 20 שניות עבור X=11. אלגוריתמים אלה הופכים בדרך כלל לבלתי פתירים בגודל קטן מאוד - בין 30 ל-100 עצמים. מהר מאד זמן החישוב הנדרש הופך להיות מיליארדי שנים.

* בתאוריה של סיבוכיות חישובים, אלגוריתמים שונים בעלי סיבוכיות מעריכית דורשים הגדלה מעריכית של משאבי חישוב (זכרון, זמן, מהירות מעבד) עבור גידול לינארי בגדולה של הבעיה. כך שבעיה שזמן הפתרון שלה עבור X=10 יהיה 10 שניות, תדרוש 20 שניות עבור X=11. אלגוריתמים אלה הופכים בדרך כלל לבלתי פתירים בגודל קטן מאוד - בין 30 ל-100 עצמים. מהר מאד זמן החישוב הנדרש הופך להיות מיליארדי שנים.

* הגידול ברשת האינטרנט היה מעריכי, דוגמה ל[[ביקוש מושרה]], וצפוי לעבור מתישהו לגידול בצורת S - בדומה לחדירת מוצרים רבים אחרים.

* הגידול ברשת האינטרנט היה מעריכי, דוגמה ל[[ביקוש מושרה]], וצפוי לעבור מתישהו לגידול בצורת S - בדומה לחדירת מוצרים רבים אחרים.

==קישורים חיצוניים==

==קישורים חיצוניים==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_growth גידול מעריכי] בוויקיפדיה האנגלית

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_growth גידול מעריכי] בוויקיפדיה האנגלית

* [http://www.youtube.com/watch?v=hM1x4RljmnE האם בני האדם חכמים יותר משמרים?] סרטון ביוטיוב  

* [http://www.youtube.com/watch?v=hM1x4RljmnE האם בני האדם חכמים יותר משמרים?] סרטון ביוטיוב

* [http://overshoot.tv/ טלוויזיית ההחטאה מלמעלה] הפקת סרטים תיעודיים להסבר על גידול מעריכי, כושר נשיאה, גלישה מלמעלה וקריסה

* [http://overshoot.tv/ טלוויזיית ההחטאה מלמעלה] הפקת סרטים תיעודיים להסבר על גידול מעריכי, כושר נשיאה, גלישה מלמעלה וקריסה

==הערות שוליים==

==הערות שוליים==