שינויים

מבחינה אינטואיטיבית לרוב בני האדם קשה מאוד לתפוס את המהירות של קצב גידול מעריכי. לדוגמה רוב האנשים מתקשים להעריך את סדר הגודל של מספר ההכפלות הדרושות כדי לבנות מגדל של שטרות בעובי מילימטר אחד שיגיע מכדור הארץ עד לירח (מרחק של 380,000 ק"מ) - 42 הכפלות.

מבחינה אינטואיטיבית לרוב בני האדם קשה מאוד לתפוס את המהירות של קצב גידול מעריכי. לדוגמה רוב האנשים מתקשים להעריך את סדר הגודל של מספר ההכפלות הדרושות כדי לבנות מגדל של שטרות בעובי מילימטר אחד שיגיע מכדור הארץ עד לירח (מרחק של 380,000 ק"מ) - 42 הכפלות.

גידול אוכלוסיית העולם - קצב גידול של 1.1 אחוז בשנה בקצב קבוע גורם לכך שהמאסה האנושית מגיעה למאסת הייקום הנצפה (כולל כל הכוכבים, הגלקסיות וכו') בתוך כ-10,000 שנה.  

גידול אוכלוסיית העולם - קצב גידול של 1.1 אחוז בשנה בקצב קבוע גורם לכך שהמאסה האנושית מגיעה למאסת הייקום הנצפה (כולל כל הכוכבים, הגלקסיות וכו') בתוך כ-10,000 שנה.

===דחיסת כל ההיסטוריה לזמן הכפלה יחיד===

===דחיסת כל ההיסטוריה לזמן הכפלה יחיד===

===קושי לתפוס את התופעה ולפעול מולה===

===קושי לתפוס את התופעה ולפעול מולה===

בתופעות בעלות זמן הכפלה מהיר, קשה להבחין בתופעה שעלולה להיות בעייתית עד לשלב מאוחר מאוד שלה. דוגמה מפורסמת היא חבצלות מים שגדלות באגם ומכפילות את כמותן בכל שבוע. אם נניח שיתרחש אסון אקולוגי כאשר חבצלות המים יכסו 100% משטח האגם, עולה השאלה מתי יגלו בני אדם השוכנים לחוף האגם את קיום הבעיה, ויפעלו מולה. אם נניח שהם ערניים ומגלים את הבעיה כאשר חבצלות המים מכסות 6% משטח האגם, הדבר מעניק להם 4 שבועות בלבד להגיע להסכמה על מהות הבעיה ועל הדרך לפתור אותה. בגלל התכונה של גידול מעריכי, סך הגידול בתקופת ההכפלה האחרונה שווה לסך כל הגידול לפניו, פירוש הדבר שבעיות יכולות לצאת מכלל שליטה בצורה מהירה בלי שהדבר יתגלה אלא בשלב מאוחר מאוד.  

בתופעות בעלות זמן הכפלה מהיר, קשה להבחין בתופעה שעלולה להיות בעייתית עד לשלב מאוחר מאוד שלה. דוגמה מפורסמת היא חבצלות מים שגדלות באגם ומכפילות את כמותן בכל שבוע. אם נניח שיתרחש אסון אקולוגי כאשר חבצלות המים יכסו 100% משטח האגם, עולה השאלה מתי יגלו בני אדם השוכנים לחוף האגם את קיום הבעיה, ויפעלו מולה. אם נניח שהם ערניים ומגלים את הבעיה כאשר חבצלות המים מכסות 6% משטח האגם, הדבר מעניק להם 4 שבועות בלבד להגיע להסכמה על מהות הבעיה ועל הדרך לפתור אותה. בגלל התכונה של גידול מעריכי, סך הגידול בתקופת ההכפלה האחרונה שווה לסך כל הגידול לפניו, פירוש הדבר שבעיות יכולות לצאת מכלל שליטה בצורה מהירה בלי שהדבר יתגלה אלא בשלב מאוחר מאוד.

שטח אגם הכינרת הוא 166 ק"מ רבועים או 166 מיליון מטרים רבועים. אם נניח ששטח כל שושנת מים הוא מטר אחד וזמן הכפלה של שבוע, יקח לשושנה בודדת 24 שבועות לכסות שטח של 8 קמ"ר שהם כ-6%, דבר זה משאיר 4 שבועות לכיסוי מלא של האגם בשושנות מים. דבר זה מחריף אם מניחים כי ייתכן גידול בקצב הגידול. אם נניח קצב הכפלה חודשי של השושנה, יקח לה יותר משנתיים להגיע לכיסוי של 8 קמ"ר. אם מסיבה כלשהי קצב הגידול עצמו גדל פי 4, כך שזמן ההכפלה חוזר להיות שבוע, יוותרו לתושבים 4 שבועות בלבד לטיפול בבעיה. בעיות סביבתיות רבות בעולם מאופיינות בגידול איטי מאוד במשך מיליוני שנים, ואז גידול בקצב ההכפלה במאות השנים האחרונות.

שטח אגם הכינרת הוא 166 ק"מ רבועים או 166 מיליון מטרים רבועים. אם נניח ששטח כל שושנת מים הוא מטר אחד וזמן הכפלה של שבוע, יקח לשושנה בודדת 24 שבועות לכסות שטח של 8 קמ"ר שהם כ-6%, דבר זה משאיר 4 שבועות לכיסוי מלא של האגם בשושנות מים. דבר זה מחריף אם מניחים כי ייתכן גידול בקצב הגידול. אם נניח קצב הכפלה חודשי של השושנה, יקח לה יותר משנתיים להגיע לכיסוי של 8 קמ"ר. אם מסיבה כלשהי קצב הגידול עצמו גדל פי 4, כך שזמן ההכפלה חוזר להיות שבוע, יוותרו לתושבים 4 שבועות בלבד לטיפול בבעיה. בעיות סביבתיות רבות בעולם מאופיינות בגידול איטי מאוד במשך מיליוני שנים, ואז גידול בקצב ההכפלה במאות השנים האחרונות.

| אחרי 56 שעות||2.16173E+14||260 מיליון ק"מ

| אחרי 56 שעות||2.16173E+14||260 מיליון ק"מ

|-

|-

|  

|

|}

|}

בתוך 5 שעות נוספות בלבד, כלומר תוך 61 שעות, שהן יומיים ו-13 שעות, מהזמן שבו היה לנו חיידק בודד, נוכל להקים "גשר חיידקים" מהשמש עד כוכב הלכת פלוטו שנמצא במרחק 6 מיליארד ק"מ ממנה. לשם השוואה, לחללית "ניו הורייזונס" ששוגרה בשנת 2006, ועברה ליד הירח כעבור 8 שעות מזמן השיגור, נדרשו 8 שנים כדי להגיע לקרבתו של פלוטו.<ref name="germs"/> [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%99%D7%95_%D7%94%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%96%D7%95%D7%A0%D7%A1]

בתוך 5 שעות נוספות בלבד, כלומר תוך 61 שעות, שהן יומיים ו-13 שעות, מהזמן שבו היה לנו חיידק בודד, נוכל להקים "גשר חיידקים" מהשמש עד כוכב הלכת פלוטו שנמצא במרחק 6 מיליארד ק"מ ממנה. לשם השוואה, לחללית "ניו הורייזונס" ששוגרה בשנת 2006, ועברה ליד הירח כעבור 8 שעות מזמן השיגור, נדרשו 8 שנים כדי להגיע לקרבתו של פלוטו.<ref name="germs"/> [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%99%D7%95_%D7%94%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%96%D7%95%D7%A0%D7%A1]

כדי ליצור גשר חיידקים מהשמש אל פרוקסימה קנטאורי, כוכב שנמצא במרחק 4 שנות אור, ידרשו לנו רק 74 שעות או שלושה ימים ושעתיים. כדי ליצור גשר חיידקים באורך גלקסיית שביל החלב, מרחק 100,000 שנות אור, ידרשו לחיידקים 89 שעות, שהם שלושה ימים ושעתיים (כמובן הדבר מתעלם מהמגבלה של מהירות האור, כפי שהתעלמנו ממגבלות אחרות כמו מציאת מקור אנרגיה לחיידקים ותנאי מחיה נוספים).<ref name="germs"/>  

כדי ליצור גשר חיידקים מהשמש אל פרוקסימה קנטאורי, כוכב שנמצא במרחק 4 שנות אור, ידרשו לנו רק 74 שעות או שלושה ימים ושעתיים. כדי ליצור גשר חיידקים באורך גלקסיית שביל החלב, מרחק 100,000 שנות אור, ידרשו לחיידקים 89 שעות, שהם שלושה ימים ושעתיים (כמובן הדבר מתעלם מהמגבלה של מהירות האור, כפי שהתעלמנו ממגבלות אחרות כמו מציאת מקור אנרגיה לחיידקים ותנאי מחיה נוספים).<ref name="germs"/>

אם נרצה ליצור ריבוע שכל צלע שלו היא באורך גלקסיית שביל החלב, ובעובי חיידק אחד, נבנה ראשית צלע מחיידקים באורך המתאים, ואז ניתן לכל חיידק בצלע להשתכפל לצדדים, כמו שעשה החיידק הראשון. הדבר יקח לחיידקים זמן כפול יחסית להקמת צלע החיידקים - כלומר 178 שעות שהם 7 ימים ו-10 שעות.<ref name="germs"/>  

אם נרצה ליצור ריבוע שכל צלע שלו היא באורך גלקסיית שביל החלב, ובעובי חיידק אחד, נבנה ראשית צלע מחיידקים באורך המתאים, ואז ניתן לכל חיידק בצלע להשתכפל לצדדים, כמו שעשה החיידק הראשון. הדבר יקח לחיידקים זמן כפול יחסית להקמת צלע החיידקים - כלומר 178 שעות שהם 7 ימים ו-10 שעות.<ref name="germs"/>

לשם הקמת קובייה ענקית בעלת צלעות באורך גלקסיית שביל החלב, ידרש זמן גדול פי 3 יחסית להקמת צלע באורך הגלקסיה. קודם נבנה צלע, לאחר מכן ריבוע בעובי חיידק אחד ולבסוף ניתן לכל חיידק בריבוע להשתכפל וליצור גשר חיידקים באורך הגלקסיה על ציר העומק. הדבר ידרוש רק פי 3 זמן יחסית לצלע באורך הגלקסיה, כלומר 267 שעות, שהם 11 ימים ו-3 שעות. <ref name="germs"/>  

לשם הקמת קובייה ענקית בעלת צלעות באורך גלקסיית שביל החלב, ידרש זמן גדול פי 3 יחסית להקמת צלע באורך הגלקסיה. קודם נבנה צלע, לאחר מכן ריבוע בעובי חיידק אחד ולבסוף ניתן לכל חיידק בריבוע להשתכפל וליצור גשר חיידקים באורך הגלקסיה על ציר העומק. הדבר ידרוש רק פי 3 זמן יחסית לצלע באורך הגלקסיה, כלומר 267 שעות, שהם 11 ימים ו-3 שעות. <ref name="germs"/>

הדוגמאות האלה ממחישות כמה גידול מעריכי הוא דבר עצום - עם קצב השכפול המתאים, ועם הזנחה של מגבלות שונות על קצב גידול זה כמו מהירות האור או אנרגיה, אנחנו מצליחים להגיע מאחד הדברים הקטנים ביותר בקיום שלנו - חיידק שאנחנו לא מסוגלים לראות בכלל, לגלקסיה שהיא כה עצומה ביחס אלינו עד שידרשו לנו אלפי שנים להגיע להיקף שלה גם אם היינו יכולים לנסוע במהירות האור. דוגמה זו גם ממחישה מדוע גם בהינתן דבר קטן מאד כמו חיידק, תהליכים טבעיים לאורך זמן בעצם גדלים לא בגידול מעריכי אלא כפונקציה דמויית S - שכן תמיד קיימת מגבלת משאבים שקיומה לא משמעותי בשלבים הראשונים של התהליך אבל הופכת להיות משמעותית יותר ויותר בשלבים מאוחרים יותר.

הדוגמאות האלה ממחישות כמה גידול מעריכי הוא דבר עצום - עם קצב השכפול המתאים, ועם הזנחה של מגבלות שונות על קצב גידול זה כמו מהירות האור או אנרגיה, אנחנו מצליחים להגיע מאחד הדברים הקטנים ביותר בקיום שלנו - חיידק שאנחנו לא מסוגלים לראות בכלל, לגלקסיה שהיא כה עצומה ביחס אלינו עד שידרשו לנו אלפי שנים להגיע להיקף שלה גם אם היינו יכולים לנסוע במהירות האור. דוגמה זו גם ממחישה מדוע גם בהינתן דבר קטן מאד כמו חיידק, תהליכים טבעיים לאורך זמן בעצם גדלים לא בגידול מעריכי אלא כפונקציה דמויית S - שכן תמיד קיימת מגבלת משאבים שקיומה לא משמעותי בשלבים הראשונים של התהליך אבל הופכת להיות משמעותית יותר ויותר בשלבים מאוחרים יותר.

==מגבלות על גידול מעריכי==

==מגבלות על גידול מעריכי==

גידול מעריכי אמיתי ניתן לתאור רק במישור המתמטי הטהור הבנוי רק ממספרים. אפילו ביקום כזה, קשה לנו לתאר גידול מעריכי לאורך זמן. נוסחה מתמטית יכולה לתאר גידול מעריכי, אבל אם נרצה לתאר את הערכים המתקבלים מפונקוציה מעריכית, נגיע לאחר זמן מה לערכים גבוהים מאד שהתיאור המדוייק שלהם ידרוש משאבי טבע עצומים. דוגמה למספרים גדולים הם המספרים גוגול גוגולפלקס. הייצוג של המספר מיליארד במערכת מספרים עשרונית הוא 1 עם 9 אפסים אחריו. גוגול מיוצג על 1 עם מאה אפסים אחריו או עשר בחזקת 100. לשם השוואה - מעריכים שיש ביקום הנראה פחות מ 10 בחזקת חלקיקים יסודיים בודדים. גוגולפלקס הוא מספר גדול בהרבה והוא עשר בחזקת גוגל. כדי לכתוב את הייצוג העשרוני על נייר יש צורך להקיף את כדור הארץ מספר פעמים. למרות גודלם של מספרים אלה, כל תהליך של גידול מעריכי יעבור את המספרים האלה בשלב כלשהו ובהינתן זמן מספיק יגיע למספרים גדולים בהרבה.

גידול מעריכי אמיתי ניתן לתיאור רק במישור המתמטי הטהור הבנוי רק ממספרים. אפילו ביקום כזה, קשה לנו לתאר גידול מעריכי לאורך זמן. נוסחה מתמטית יכולה לתאר גידול מעריכי, אבל אם נרצה לתאר את הערכים המתקבלים מפונקציה מעריכית, נגיע לאחר זמן מה לערכים גבוהים מאד שהתיאור המדוייק שלהם ידרוש משאבי טבע עצומים. דוגמה למספרים גדולים הם המספרים גוגול גוגולפלקס. הייצוג של המספר מיליארד במערכת מספרים עשרונית הוא 1 עם 9 אפסים אחריו. גוגול מיוצג על 1 עם מאה אפסים אחריו או עשר בחזקת 100. לשם השוואה - מעריכים שיש ביקום הנראה פחות מ 10 בחזקת חלקיקים יסודיים בודדים. גוגולפלקס הוא מספר גדול בהרבה והוא עשר בחזקת גוגל. כדי לכתוב את הייצוג העשרוני על נייר יש צורך להקיף את כדור הארץ מספר פעמים. למרות גודלם של מספרים אלה, כל תהליך של גידול מעריכי יעבור את המספרים האלה בשלב כלשהו ובהינתן זמן מספיק יגיע למספרים גדולים בהרבה.

בעולם המציאות כל העצמים מסביבו בנויים מאטומים, שבנויים מחלקיקים אלמנטריים, ולכן המגבלה התאורטית העליונה על תהליכים אלה היא מספר החלקיקים האלמנטריים בייקום הנצפה או עשר בחזקת 87. בדרך כלל קיימות מגבלות רבות נוספות. לדוגמה אם נניח שיש לנו תהליך שיכול לנצל את כל החומר ביקום, עדיין לוקח זמן להגיע אל כוכבים אחרים - מהירות האור היא מגבלה אחרת על גידול מעריכי - לכן לכל תהליך שמוגבל על ידי מהירות האור והוא מתחיל במערכת השמש תהיה מגבלת חומר של החומר הזמין במערכת השמש ולא יותר, רוב החומר הזמין האחר של היקום ימצא במרחק של 4 שנות אור לפחות מאיתנו. בנוסף - רוב המסה במערכת השמש נמצאת בשמש עצמה - מימן והליום בטמפרטורה של אלפי מעלות - תהליך שידרוש את מסה גדלה הולכת של חלקיקים יהיה מוגבל כנראה לחומר שניתן להפיק מכוכבי לכת. כמו כן רוב הדברים הדברים שאנו יכולים לגעת בהם לא עשויים רק ממימן - הם עשויים גם מיסודות אחרים כמו פחמן או זרחן שהכמות שלהם נמוכה בהרבה ממסת המימן במערכת השמש.

בעולם המציאות כל העצמים מסביבו בנויים מאטומים, שבנויים מחלקיקים אלמנטריים, ולכן המגבלה התאורטית העליונה על תהליכים אלה היא מספר החלקיקים האלמנטריים בייקום הנצפה או עשר בחזקת 87. בדרך כלל קיימות מגבלות רבות נוספות. לדוגמה אם נניח שיש לנו תהליך שיכול לנצל את כל החומר ביקום, עדיין לוקח זמן להגיע אל כוכבים אחרים - מהירות האור היא מגבלה אחרת על גידול מעריכי - לכן לכל תהליך שמוגבל על ידי מהירות האור והוא מתחיל במערכת השמש תהיה מגבלת חומר של החומר הזמין במערכת השמש ולא יותר, רוב החומר הזמין האחר של היקום ימצא במרחק של 4 שנות אור לפחות מאיתנו. בנוסף - רוב המסה במערכת השמש נמצאת בשמש עצמה - מימן והליום בטמפרטורה של אלפי מעלות - תהליך שידרוש את מסה גדלה הולכת של חלקיקים יהיה מוגבל כנראה לחומר שניתן להפיק מכוכבי לכת. כמו כן רוב הדברים הדברים שאנו יכולים לגעת בהם לא עשויים רק ממימן - הם עשויים גם מיסודות אחרים כמו פחמן או זרחן שהכמות שלהם נמוכה בהרבה ממסת המימן במערכת השמש.

להלן מספר סדרי גודל למסה של גופים גדולים. מסת כדור הארץ היא ‎5.97×10²⁴ קילוגרם, מסת השמש מסומנת לרוב ב- <math>M_{\odot}</math>. ומוערכת ב-1.9891x10³⁰ קילוגרם. מסה זו גדולה בערך פי 330 אלף פעמים המסה של כדור הארץ. מסת גלקסיית שביל החלב מוערכת כיום כ-5.8x10¹¹ מסות שמש, שהם כ-1.14x10⁴² קילוגרם. מסת הייקום הנצפה- שכוללת את כל מיליארדי הגלקסיות שאנו יכולים לצפות בהם כוללת מסה בגודל של כ-כ-1.5x10⁵³ קילוגרם. לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה, קיים שימור חומר-אנרגיה - כלומר לא ניתן ליצור חומר-אנרגיה יש מאין. כל תהליך הכולל עצמים פיזיים - כלומר כזה המערב בני אדם, חיידקים, צמחים, מחשבים, מכונות וכו' יהיה מוגבל לכל הפחות על ידי המסה העומדת לרשותנו.

להלן מספר סדרי גודל למסה של גופים גדולים. מסת כדור הארץ היא ‎5.97×10²⁴ קילוגרם, מסת השמש מסומנת לרוב ב- <math>M_{\odot}</math>. ומוערכת ב-1.9891x10³⁰ קילוגרם. מסה זו גדולה בערך פי 330 אלף פעמים המסה של כדור הארץ. מסת גלקסיית שביל החלב מוערכת כיום כ-5.8x10¹¹ מסות שמש, שהם כ-1.14x10⁴² קילוגרם. מסת הייקום הנצפה- שכוללת את כל מיליארדי הגלקסיות שאנו יכולים לצפות בהם כוללת מסה בגודל של כ-כ-1.5x10⁵³ קילוגרם. לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה, קיים שימור חומר-אנרגיה - כלומר לא ניתן ליצור חומר-אנרגיה יש מאין. כל תהליך הכולל עצמים פיזיים - כלומר כזה המערב בני אדם, חיידקים, צמחים, מחשבים, מכונות וכו' יהיה מוגבל לכל הפחות על ידי המסה העומדת לרשותנו.

מגבלות מציאותיות יותר של תהליכים טבעיים נובעים מ[[החוק השני של התרמודינמיקה]]. כל מערכת מעניינית מספיק - כמו וירוסים, חיידקים, מושבות חיידקים, בעלי חיים, צמחים, בני אדם, מחשבים, מכונות, ערים, מוסדות חברתיים היא מערכת שיש בה סדר פנימי כלשהו שחיוני לתפקוד שלה. כאשר סדר פנימי זה מפסיק להתקיים אנחנו מדברים על מוות של אותה מערכת. כדי לשמור על סדר פנימי זה יש צורך בהשקעה מתמדת של [[אקסריה]] - אנרגיה זמינה לעבודה, שלרוב מקורה הוא מהשמש ([[אנרגיה סולארית]]) או במערכות אנושיות במאות השנים האחרונות - מגלגול של אנרגיה זו בצורה של [[דלק מאובנים]]. המשותף לכל המערכות האלה הוא שהן סוג של [[מערכת דיאספטית]] שבה סדר פנימי דורש השקעה מתמקדת של אנרגיה שמתפזרת החוצה לאחר מכן כחום.  

מגבלות מציאותיות יותר של תהליכים טבעיים נובעים מ[[החוק השני של התרמודינמיקה]]. כל מערכת מעניינית מספיק - כמו וירוסים, חיידקים, מושבות חיידקים, בעלי חיים, צמחים, בני אדם, מחשבים, מכונות, ערים, מוסדות חברתיים היא מערכת שיש בה סדר פנימי כלשהו שחיוני לתפקוד שלה. כאשר סדר פנימי זה מפסיק להתקיים אנחנו מדברים על מוות של אותה מערכת. כדי לשמור על סדר פנימי זה יש צורך בהשקעה מתמדת של [[אקסרגיה]] - אנרגיה זמינה לעבודה, שלרוב מקורה הוא מהשמש ([[אנרגיה סולארית]]) או במערכות אנושיות במאות השנים האחרונות - מגלגול של אנרגיה זו בצורה של [[דלק מאובנים]]. המשותף לכל המערכות האלה הוא שהן סוג של [[מערכת דיאספטית]] שבה סדר פנימי דורש השקעה מתמקדת של אנרגיה שמתפזרת החוצה לאחר מכן כחום.

הגידול המעריכי לכאורה של תהליכים רבים קשור לקיום של לולאת משוב מחזקת ולשפע של חומרי גלם זמינים ואנרגיה שיכולה לתדלק הלאה את התהליך הנתון - לדוגמה לחיידקים בצלחת פטרי יש שפע של מאגרי מזון נתונים. ככל שאנחנו מתקדמים בתהליך הגידול, נכנסות עוד ועוד מגבלות על התהליך, או התחזקות של לולאת משוב מחלישה אחת לכל הפחות. לדוגמה המזון הזמין בצלחת הפטרי נגמר ומגביל את גידול החיידקים. אם נוכל להתעלם ממגבלה זו על ידי הזרמה מתמדת של מזון נוזלי לצלחת תכנס, מגבלה נוספת והיא מגבלת מקום. מגבלה אחרת יכולה להיות פינוי של פסולת, כניסה של טורפים או תחרות פנימית בין החיידקים בשאלה מי מהם יתרבה בקצב מהיר או יעיל יותר. אם נניח שמקום אינו מגבלה כלל - נניח חיידקים המסוגלים לגדול בחלל החיצון ולא בצלחת פטרי, נגלה שמגבלת המזון היא מגבלה קשה יותר ממה שחשבנו - שכן בסופו של דבר הפקת מזון זה תלויה באור השמש, וקצב הספקת המזון למושבת הענק של החיידקים תלוי בקצב זרימת אור השמש.

הגידול המעריכי לכאורה של תהליכים רבים קשור לקיום של לולאת משוב מחזקת ולשפע של חומרי גלם זמינים ואנרגיה שיכולה לתדלק הלאה את התהליך הנתון - לדוגמה לחיידקים בצלחת פטרי יש שפע של מאגרי מזון נתונים. ככל שאנחנו מתקדמים בתהליך הגידול, נכנסות עוד ועוד מגבלות על התהליך, או התחזקות של לולאת משוב מחלישה אחת לכל הפחות. לדוגמה המזון הזמין בצלחת הפטרי נגמר ומגביל את גידול החיידקים. אם נוכל להתעלם ממגבלה זו על ידי הזרמה מתמדת של מזון נוזלי לצלחת תכנס, מגבלה נוספת והיא מגבלת מקום. מגבלה אחרת יכולה להיות פינוי של פסולת, כניסה של טורפים או תחרות פנימית בין החיידקים בשאלה מי מהם יתרבה בקצב מהיר או יעיל יותר. אם נניח שמקום אינו מגבלה כלל - נניח חיידקים המסוגלים לגדול בחלל החיצון ולא בצלחת פטרי, נגלה שמגבלת המזון היא מגבלה קשה יותר ממה שחשבנו - שכן בסופו של דבר הפקת מזון זה תלויה באור השמש, וקצב הספקת המזון למושבת הענק של החיידקים תלוי בקצב זרימת אור השמש.

==דוגמאות לגידול מעריכי בתחומים שונים==

==דוגמאות לגידול מעריכי בתחומים שונים==

כל הדוגמאות הנ"ל, מלבד דוגמאות הנוגעות לחישובים מתמטיים תאורטיים, הם דברים שגדלים באופן מעריכי רק למשך זמן מסויים. לאחר זמן מה נכנסים לפעולה שיקולים נוספים - [[לולאות משוב]] נוספות שגורמות להאטת התהליך ולמעבר של המערכת ל[[פונקציה סיגמואידית|גידול סיגמואידי]].  

כל הדוגמאות הנ"ל, מלבד דוגמאות הנוגעות לחישובים מתמטיים תאורטיים, הם דברים שגדלים באופן מעריכי רק למשך זמן מסויים. לאחר זמן מה נכנסים לפעולה שיקולים נוספים - [[לולאות משוב]] נוספות שגורמות להאטת התהליך ולמעבר של המערכת ל[[פונקציה סיגמואידית|גידול סיגמואידי]].

===פיזיקה===

===פיזיקה===

* '''תגובת שרשרת גרעינית''' (עקרון היסוד מאחורי נשק גרעיני). כל גרעין אורניום שעובר ביקוע גרעיני פוגע במספר גרעינים אחרים וגורם לביקוע שלהם.

* '''תגובת שרשרת גרעינית''' (עקרון היסוד מאחורי נשק גרעיני). כל גרעין אורניום שעובר ביקוע גרעיני פוגע במספר גרעינים אחרים וגורם לביקוע שלהם.

* '''שבירת מפולת שלגים בתוך חומר דיאלקטי'''. אלקטרון חופשי מקבל תאוצה מספקת על ידי שדה חשמלי חיצוני וכך הוא משחרר עוד אלקטרונים כשהוא פוגש בעוד אטומים או מולקולות בחומר הדיאלקטי. האלקטרונים הנוספים משחררים עוד אלקטרונים בגידול מעריכי. הדבר עשוי להוביל לשבירה דיאלקטית שלמה של החומר.  

* '''שבירת מפולת שלגים בתוך חומר דיאלקטי'''. אלקטרון חופשי מקבל תאוצה מספקת על ידי שדה חשמלי חיצוני וכך הוא משחרר עוד אלקטרונים כשהוא פוגש בעוד אטומים או מולקולות בחומר הדיאלקטי. האלקטרונים הנוספים משחררים עוד אלקטרונים בגידול מעריכי. הדבר עשוי להוביל לשבירה דיאלקטית שלמה של החומר.

===ביולוגיה===

===ביולוגיה===

* מספר המיקרו-אורגניזמים שחיים בצלחת פטרי יגדל בצורה מעריכית עד לכילוי של חומר תזונתי חיוני. באופן כללי החיידק הראשון מתפצל ל-2 חיידקים, אלו מתחלקים ל-4 וכו', בדרך כלל הדבר נעשה בזמני התחלקות קבועים.

* מספר המיקרו-אורגניזמים שחיים בצלחת פטרי יגדל בצורה מעריכית עד לכילוי של חומר תזונתי חיוני. באופן כללי החיידק הראשון מתפצל ל-2 חיידקים, אלו מתחלקים ל-4 וכו', בדרך כלל הדבר נעשה בזמני התחלקות קבועים.

* נגיף (לדוגמה אבעבועות, סארס, [[קורונה]] וכו') מתפשט בדרך כלל בצורה מעריכית אם אין גורם מלאכותי (כמו חיסון או בידוד) שמגביל אותו. כל נשא של הנגיף יכול להדביק כמה אנשים חדשים.  

* נגיף (לדוגמה אבעבועות, סארס, [[קורונה]] וכו') מתפשט בדרך כלל בצורה מעריכית אם אין גורם מלאכותי (כמו חיסון או בידוד) שמגביל אותו. כל נשא של הנגיף יכול להדביק כמה אנשים חדשים.

* [[אוכלוסיית העולם|האוכלוסייה האנושית]], אם מספר הלידות ומקרי המוות לאדם לשנה נשארת באותה רמה (ראו גם [[גידול לוגריתמי]]) - אם כי תרחיש זה אינו מדוייק - ראו בהמשך.  

* [[אוכלוסיית העולם|האוכלוסייה האנושית]], אם מספר הלידות ומקרי המוות לאדם לשנה נשארת באותה רמה (ראו גם [[גידול לוגריתמי]]) - אם כי תרחיש זה אינו מדוייק - ראו בהמשך.

* תגובות רבות של יצורים חיים לגירויים, כולל תגובתיות בבני אדם, הם תגובות לוגריתמיות, שהן פונקציה הופכית לתגובה מעריכית. התדירות או העוצמה של קול לדוגמה נתפסים באופן לוגריתמי. גירוי לוגריתמי הוא הסיבה לכך שעצם שדרגת בהירותו גדלה באופן מעריכי נראה לנו כאילו הבהירות שלו גדלה באופן לינארי. לדרך תחושה והגבה זו יש הגיון הישרדותי. חשוב ליצור החי להגיב לטווח רחב של גירויים, בעוד שההבחנה המדוייקת בין עוצמות שונות היא חשובה פחות.  

* תגובות רבות של יצורים חיים לגירויים, כולל תגובתיות בבני אדם, הם תגובות לוגריתמיות, שהן פונקציה הופכית לתגובה מעריכית. התדירות או העוצמה של קול לדוגמה נתפסים באופן לוגריתמי. גירוי לוגריתמי הוא הסיבה לכך שעצם שדרגת בהירותו גדלה באופן מעריכי נראה לנו כאילו הבהירות שלו גדלה באופן לינארי. לדרך תחושה והגבה זו יש הגיון הישרדותי. חשוב ליצור החי להגיב לטווח רחב של גירויים, בעוד שההבחנה המדוייקת בין עוצמות שונות היא חשובה פחות.

===כלכלה===

===כלכלה===

* '''שיווק רב שכבתי'''. רווח שגדל בצורה מעריכית הוא מה שמובטח למשתתפים למשווקים של מוצרים בעלי עקרון של שיווק רב שכבתי, כאשר כל אדם במורד השרשרת משווק את המוצר למספר אנשים. דבר דומה קיים ב"משחק פירמידה" או ב"משחק פונזי" שבהם יש רווחים גדולים למשקיעים הראשוניים והפסדים המתחלקים בין מספר רב של משתתפים שנכנסים בסוף המשחק.  

* '''שיווק רב שכבתי'''. רווח שגדל בצורה מעריכית הוא מה שמובטח למשתתפים למשווקים של מוצרים בעלי עקרון של שיווק רב שכבתי, כאשר כל אדם במורד השרשרת משווק את המוצר למספר אנשים. דבר דומה קיים ב"משחק פירמידה" או ב"משחק פונזי" שבהם יש רווחים גדולים למשקיעים הראשוניים והפסדים המתחלקים בין מספר רב של משתתפים שנכנסים בסוף המשחק.

* '''ריבית דריבית''' (Compound interest) מחילה את שער הריבית לא רק על הקרן אלה גם על הריבית עצמה. דבר זה בשער ריבית קבוע נותן החזר מעריכי להשקעה.  

* '''ריבית דריבית''' (Compound interest) מחילה את שער הריבית לא רק על הקרן אלה גם על הריבית עצמה. דבר זה בשער ריבית קבוע נותן החזר מעריכי להשקעה.

;מדעי המחשב:

;מדעי המחשב:

==אוכלוסיית בני האדם==

==אוכלוסיית בני האדם==

{{הפניה לערך מורחב|גידול אוכלוסין}}

{{הפניה לערך מורחב|גידול אוכלוסין}}

במציאות ייתכנו מצבים קיצוניים יותר מגידול מעריכי, אך ייתכנו גם מצבים מורכבים יותר. במשך רוב ההיסטוריה האנושית קצב הגידול של [[אוכלוסיית העולם]] היה בממוצע נמוך בהרבה מ-1% בגלל [[מגיפה|מגיפות]], [[רעב]], אסונות, מלחמות ומנגנונים של דעיכה או [[התמוטטות (ספר)|קריסה אקולוגית]] או כלכלית בתרבויות מקומיות. לקחו מספר מיליוני שנים עד שמספר בודד של [[בני אדם]] מסוג הומו-סאפינס התרבו לכדי כ-8 מיליוני בני אדם שחיו לפני כ-30,000 שנה כ[[ציידים לקטים]] שעברו את [[המהפכה הלשונית]]. מאז [[המהפכה החקלאית]] לפני 10,000 שנה, מספר בני האדם הלך וגדל מכמה מיליונים לכמיליארד בני אדם באזור שנת 1850. במאות השנים האחרונות גדל קצב הגידול של האוכלוסייה העולמית בעקבות שינויים כמו [[המהפכה התעשייתית]], שיפורים ברפואה ובהיגיינה, שיפור התנובה החקלאית בגלל מספר מהפכות חקלאיות כמו [[המהפכה הירוקה]] ועוד [[שינוי טכנולוגי|שינויים טכנולוגיים]]. כך שב-1950 מספר בני האדם הגיע ל-2.5 מיליארד בני אדם. נתון זה קפץ לכ-7 מיליארד בני אדם בשנת 2000.  

במציאות ייתכנו מצבים קיצוניים יותר מגידול מעריכי, אך ייתכנו גם מצבים מורכבים יותר. במשך רוב ההיסטוריה האנושית קצב הגידול של [[אוכלוסיית העולם]] היה בממוצע נמוך בהרבה מ-1% בגלל [[מגיפה|מגיפות]], [[רעב]], אסונות, מלחמות ומנגנונים של דעיכה או [[התמוטטות (ספר)|קריסה אקולוגית]] או כלכלית בתרבויות מקומיות. לקחו מספר מיליוני שנים עד שמספר בודד של [[בני אדם]] מסוג הומו-סאפינס התרבו לכדי כ-8 מיליוני בני אדם שחיו לפני כ-30,000 שנה כ[[ציידים לקטים]] שעברו את [[המהפכה הלשונית]]. מאז [[המהפכה החקלאית]] לפני 10,000 שנה, מספר בני האדם הלך וגדל מכמה מיליונים לכמיליארד בני אדם באזור שנת 1850. במאות השנים האחרונות גדל קצב הגידול של האוכלוסייה העולמית בעקבות שינויים כמו [[המהפכה התעשייתית]], שיפורים ברפואה ובהיגיינה, שיפור התנובה החקלאית בגלל מספר מהפכות חקלאיות כמו [[המהפכה הירוקה]] ועוד [[שינוי טכנולוגי|שינויים טכנולוגיים]]. כך שב-1950 מספר בני האדם הגיע ל-2.5 מיליארד בני אדם. נתון זה קפץ לכ-7 מיליארד בני אדם בשנת 2000.

עם זאת, האוכלוסייה האנושית אינה גדלה בקצב מעריכי קבוע, ובדומה לעליה החדה בקצב הגידול, הייתה גם ירידה בקצב הגידול (שערכו שונה באיזורים שונים בעולם), שההסבר המקובל לה הוא [[מעבר דמוגרפי]]. דבר זה אינו אומר ש[[אוכלוסיית העולם]] היא בהכרח במגמת התייצבות, שכן למרות שכל אישה יולדת בממוצע פחות ילדים יש גם יותר נשים. תחזיות האו"ם להמשך גידול האוכלוסייה האנושית פתוחות למספר תרחישים שונים.  

עם זאת, האוכלוסייה האנושית אינה גדלה בקצב מעריכי קבוע, ובדומה לעליה החדה בקצב הגידול, הייתה גם ירידה בקצב הגידול (שערכו שונה באיזורים שונים בעולם), שההסבר המקובל לה הוא [[מעבר דמוגרפי]]. דבר זה אינו אומר ש[[אוכלוסיית העולם]] היא בהכרח במגמת התייצבות, שכן למרות שכל אישה יולדת בממוצע פחות ילדים יש גם יותר נשים. תחזיות האו"ם להמשך גידול האוכלוסייה האנושית פתוחות למספר תרחישים שונים.

עם זאת, בגלל גידול גדל בצריכת משאבים לנפש וב[[טביעת הרגל האקולוגית]], משתנים רבים המתארים את [[השפעה סביבתית|ההשפעה המצטברת של בני האדם על הטבע]] - כמו הרס [[מערכות אקולוגיות]], [[הכחדת מינים]], צריכת [[משאבים מתכלים]] או התערבות ב[[מחזור החנקן]] עלולים להיות בעלי צמיחה מעריכית או דומה לה שכן הם גדלים לא רק עקב גידול אוכלוסין אלא גם עקב [[צמיחה כלכלית]] בכל העולם, ושינויים בהרגלי הצריכה של מיליארדי אנשים שחיים במדינות מתפתחות. משתנים אלה מסוכמים לדוגמה במאמר [[גבולות פלנטריים]].

עם זאת, בגלל גידול גדל בצריכת משאבים לנפש וב[[טביעת הרגל האקולוגית]], משתנים רבים המתארים את [[השפעה סביבתית|ההשפעה המצטברת של בני האדם על הטבע]] - כמו הרס [[מערכות אקולוגיות]], [[הכחדת מינים]], צריכת [[משאבים מתכלים]] או התערבות ב[[מחזור החנקן]] עלולים להיות בעלי צמיחה מעריכית או דומה לה שכן הם גדלים לא רק עקב גידול אוכלוסין אלא גם עקב [[צמיחה כלכלית]] בכל העולם, ושינויים בהרגלי הצריכה של מיליארדי אנשים שחיים במדינות מתפתחות. משתנים אלה מסוכמים לדוגמה במאמר [[גבולות פלנטריים]].