שינויים

{{מושג בסיסי}}

{{מושג בסיסי}}

[[קובץ:Exponential.png|thumb|250px|left|גידול מעריכי (קו ירוק) גדל בקצב גדול יותר מאשר פונקציה לינארית (קו אדום) או ריבועית (קו כחול)]]

[[קובץ:Exponential.png|thumb|250px|left|גידול מעריכי (קו ירוק) גדל בקצב גדול יותר מאשר פונקציה לינארית (קו אדום) או ריבועית (קו כחול).]]

'''גידול מעריכי''' (באנגלית: '''Exponential growth'''), '''גידול אקספוננטי''' או '''צמיחה מעריכית''' מתרחש כאשר קצב הגידול של תופעה כלשהי גדל בפרופורציה קבועה שתלויה בערך הנוכחי, לדוגמה קצב גידול של 3% בשנה. שם נוסף גידול כזה הוא '''גידול גאומטרי''' או '''טור גאומטרי'''. מודל הגידול המעריכי ידוע גם '''[[תומס מלתוס|מודל צמיחה מלתוסיאני]]'''. למרות שקצב הגידול הוא קבוע פירוש הדבר שהגודל המוחלט של הנתון מכפיל את עצמו כל כמה פרקי זמן. לדוגמה אוכלוסייה שגדלה בקצב קבוע של 3% פירושו שהאוכלוסייה גדלה פי 2 בכל 20 שנה. לכן אם האוכלוסייה שומרת על קצב גידול קבוע ומתחילה מגודל של 1 מיליון אז לאחר 25 שנה היא תמנה 2 מיליון איש, לאחר 50 שנה היא תמנה 4 מיליון איש, לאחר 75 שנה 8 מיליון איש וכך הלאה.  

'''גידול מעריכי''' (באנגלית: '''Exponential growth'''), '''גידול אקספוננטי''' או '''צמיחה מעריכית''' מתרחש כאשר קצב הגידול של תופעה כלשהי גדל בפרופורציה קבועה שתלויה בערך הנוכחי, לדוגמה קצב גידול של 3% בשנה. שם נוסף גידול כזה הוא '''גידול גאומטרי''' או '''טור גאומטרי'''. מודל הגידול המעריכי ידוע גם '''[[תומס מלתוס|מודל צמיחה מלתוסיאני]]'''. למרות שקצב הגידול הוא קבוע פירוש הדבר שהגודל המוחלט של הנתון מכפיל את עצמו כל כמה פרקי זמן. לדוגמה אוכלוסייה שגדלה בקצב קבוע של 3% פירושו שהאוכלוסייה גדלה פי 2 בכל 20 שנה. לכן אם האוכלוסייה שומרת על קצב גידול קבוע ומתחילה מגודל של 1 מיליון אז לאחר 25 שנה היא תמנה 2 מיליון איש, לאחר 50 שנה היא תמנה 4 מיליון איש, לאחר 75 שנה 8 מיליון איש וכך הלאה.  

ביולוגיה יכולה לתת דוגמא עד כמה גידול מעריכי הוא דבר שקשה לתפוס אותו, או להתמודד מולו:

ביולוגיה יכולה לתת דוגמא עד כמה גידול מעריכי הוא דבר שקשה לתפוס אותו, או להתמודד מולו:

נניח שיש לנו חיידק שמתרבה כל שעה. הוא משתכפל ונוצרים שני חיידקים באותו גודל. הגודל של חיידק בודד כזה הוא 3 מיקרו-מטר (מיליונית המטר). לכן צריך לשים 333 חיידקים צמודים זה לזה בשורה כדי ליצור פס חיידקים באורך מילימטר אחד. המרחק מכדור הארץ אל השמש הוא 150 מיליון ק"מ. כעבור כמה זמן של גידול בקצב קבוע - גידול מעריכי, של הכפלה כל שעה, יהיו לנו די חיידקים כדי שנוכל לעשות גשר של חיידקים בין כדור הארץ לשמש?  

נניח שיש לנו חיידק שמתרבה כל שעה. הוא משתכפל ונוצרים שני חיידקים באותו גודל. הגודל של חיידק בודד כזה הוא 3 מיקרו-מטר (מיליונית המטר). לכן צריך לשים 333 חיידקים צמודים זה לזה בשורה כדי ליצור פס חיידקים באורך מילימטר אחד. המרחק מכדור הארץ אל השמש הוא 150 מיליון ק"מ. כעבור כמה זמן של גידול בקצב קבוע - גידול מעריכי, של הכפלה כל שעה, יהיו לנו די חיידקים כדי שנוכל לעשות גשר של חיידקים בין כדור הארץ לשמש?  

התשובה היא שתוך 56 שעות, כלומר יומיים ו-8 שעות, יוכלו חיידקים שיעמדו צמודים זה לזה להגיע למרחק של 260 מיליון ק"מ. די והותר כדי להגיע מכדור הארץ אל השמש.<ref name="germs">[https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AqixvTVhWr1YdGFJeUZGMVNKVWRUdXVaYkEweWk1cHc&usp=sharing גשר חיידקים בגודל הגלקסיה] </ref> להלן פירוט התשובה.  

התשובה היא שתוך 56 שעות, כלומר יומיים ו-8 שעות, יוכלו חיידקים שיעמדו צמודים זה לזה להגיע למרחק של 260 מיליון ק"מ. די והותר כדי להגיע מכדור הארץ אל השמש.<ref name="germs">[https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AqixvTVhWr1YdGFJeUZGMVNKVWRUdXVaYkEweWk1cHc&usp=sharing גשר חיידקים בגודל הגלקסיה] </ref> להלן פירוט התשובה.  

|}

|}

בתוך 5 שעות נוספות בלבד, כלומר תוך 61 שעות, שהן יומיים ו-13 שעות, מהזמן שבו היה לנו חיידק בודד, נוכל להקים "גשר חיידקים" מהשמש עד כוכב הלכת פלוטו שנמצא במרחק 6 מיליארד ק"מ ממנה. לשם השוואה, לחללית "ניו הוריזונס" ששוגרה בשנת 2006, ועברה ליד הירח כעבור 8 שעות מזמן השיגור, ידרשו 9 שנים כדי להגיע לקרבתו של פלוטו.<ref name="germs"/>

בתוך 5 שעות נוספות בלבד, כלומר תוך 61 שעות, שהן יומיים ו-13 שעות, מהזמן שבו היה לנו חיידק בודד, נוכל להקים "גשר חיידקים" מהשמש עד כוכב הלכת פלוטו שנמצא במרחק 6 מיליארד ק"מ ממנה. לשם השוואה, לחללית "ניו הורייזונס" ששוגרה בשנת 2006, ועברה ליד הירח כעבור 8 שעות מזמן השיגור, ידרשו 9 שנים כדי להגיע לקרבתו של פלוטו.<ref name="germs"/>

כדי ליצור גשר חיידקים מהשמש אל פרוקסימה קנטאורי, מרחק 4 שנות אור, ידרשו לנו רק 74 שעות או שלושה ימים ושעתיים. כדי ליצור גשר חיידקים באורך גלקסיית שביל החלב, מרחק 100,000 שנות אור, ידרשו לחיידקים 89 שעות, שהם שלושה ימים ושעתיים (כמובן הדבר מתעלם מהמגבלה של מהירות האור).<ref name="germs"/>  

כדי ליצור גשר חיידקים מהשמש אל פרוקסימה קנטאורי, מרחק 4 שנות אור, ידרשו לנו רק 74 שעות או שלושה ימים ושעתיים. כדי ליצור גשר חיידקים באורך גלקסיית שביל החלב, מרחק 100,000 שנות אור, ידרשו לחיידקים 89 שעות, שהם שלושה ימים ושעתיים (כמובן הדבר מתעלם מהמגבלה של מהירות האור).<ref name="germs"/>  

לשם הקמת קובייה ענקית בעלת צלעות באורך גלקסיית שביל החלב, ידרש זמן גדול פי 3 יחסית להקמת צלע באורך הגלקסיה. קודם נבנה צלע, לאחר מכן ריבוע בעובי חיידק אחד ולבסוף ניתן לכל חיידק בריבוע להשתכפל וליצור גשר חיידקים באורך הגלקסיה על ציר העומק. הדבר ידרוש רק פי 3 זמן יחסית לצלע באורך הגלקסיה, כלומר 267 שעות, שהם 11 ימים ו-3 שעות. <ref name="germs"/>

לשם הקמת קובייה ענקית בעלת צלעות באורך גלקסיית שביל החלב, ידרש זמן גדול פי 3 יחסית להקמת צלע באורך הגלקסיה. קודם נבנה צלע, לאחר מכן ריבוע בעובי חיידק אחד ולבסוף ניתן לכל חיידק בריבוע להשתכפל וליצור גשר חיידקים באורך הגלקסיה על ציר העומק. הדבר ידרוש רק פי 3 זמן יחסית לצלע באורך הגלקסיה, כלומר 267 שעות, שהם 11 ימים ו-3 שעות. <ref name="germs"/>

==גידול מעריכי בתחומים שונים==

==גידול מעריכי בתחומים שונים==

===ביולוגיה===

===ביולוגיה===

* מספר המיקרו-אורגניזמים שחיים בצלחת פטרי יגדל בצורה מעריכית עד לכילוי של חומר תזונתי חיוני. באופן כללי החיידק הראשון מתפצל ל-2 חיידקים, אלו מתחלקים ל-4 וכו', בדרך כלל הדבר נעשה בזמני התחלקות קבועים.  

* מספר המיקרו-אורגניזמים שחיים בצלחת פטרי יגדל בצורה מעריכית עד לכילוי של חומר תזונתי חיוני. באופן כללי החיידק הראשון מתפצל ל-2 חיידקים, אלו מתחלקים ל-4 וכו', בדרך כלל הדבר נעשה בזמני התחלקות קבועים.  

* נגיף (לדוגמה אבעבועות, סארס וכו') מתפשט בדרך כלל בצורה מעריכית אם אין גורם מלאכותי (כמו חיסון או בידוד) שמגביל אותו. כל נשא של הנגיף יכול להדביק כמה אנשים חדשים.  

* נגיף (לדוגמה אבעבועות, סארס, [[קורונה]] וכו') מתפשט בדרך כלל בצורה מעריכית אם אין גורם מלאכותי (כמו חיסון או בידוד) שמגביל אותו. כל נשא של הנגיף יכול להדביק כמה אנשים חדשים.  

* [[אוכלוסיית העולם|האוכלוסייה האנושית]], אם מספר הלידות ומקרי המוות לאדם לשנה נשארת באותה רמה (ראו גם [[גידול לוגריתמי]]) - אם כי תרחיש זה אינו מדוייק - ראו בהמשך.  

* [[אוכלוסיית העולם|האוכלוסייה האנושית]], אם מספר הלידות ומקרי המוות לאדם לשנה נשארת באותה רמה (ראו גם [[גידול לוגריתמי]]) - אם כי תרחיש זה אינו מדוייק - ראו בהמשך.  

* הרבה תגובות של יצורים חיים לגירויים, כולל תגובתיות בבני אדם, הם תגובות לוגריתמיות, שהן פונקציה הופכית לתגובה מעריכית. התדירות או העוצמה של קול לדוגמה נתפסים באופן לוגריתמי. גירוי לוגריתמי הוא הסיבה לכך שעצם שדרגת בהירותו גדלה באופן מעריכי נראה לנו כאילו הבהירות שלו גדלה באופן לינארי. לדרך תחושה והגבה זו יש הגיון הישרדותי. חשוב ליצור החי להגיב לטווח רחב של גירויים, בעוד שההבחנה המדוייקת בין עוצמות שונות היא חשובה פחות.  

* תגובות רבות של יצורים חיים לגירויים, כולל תגובתיות בבני אדם, הם תגובות לוגריתמיות, שהן פונקציה הופכית לתגובה מעריכית. התדירות או העוצמה של קול לדוגמה נתפסים באופן לוגריתמי. גירוי לוגריתמי הוא הסיבה לכך שעצם שדרגת בהירותו גדלה באופן מעריכי נראה לנו כאילו הבהירות שלו גדלה באופן לינארי. לדרך תחושה והגבה זו יש הגיון הישרדותי. חשוב ליצור החי להגיב לטווח רחב של גירויים, בעוד שההבחנה המדוייקת בין עוצמות שונות היא חשובה פחות.  

===כלכלה===

===כלכלה===

;מדעי המחשב:

;מדעי המחשב:

* כוח החישוב של מחשבים - הכפלת כוח החישוב של מחשבים בכל מספר שנים. דבר הידוע בשם חוק מור.  

* כוח החישוב של מחשבים - הכפלת כוח החישוב של מחשבים בכל מספר שנים. דבר הידוע בשם חוק מור.  

* בתאוריה של סיבוכיות חישובים, אלגוריתמים שונים בעלי סיבוכיות מעריכית דורשים הגדלה מעריכית של משאבי חישוב (זכרון, זמן, מהירות מעבד) עבור גידול לינארי בגדולה של הבעיה. כך שבעיה שזמן הפתרון שלה עבור X=10 יהיה 10 שניות, תדרוש 20 שניות עבור X=11. אלגוריתמים אלה הופכים בדרך כלל לבלתי פתירים בגודל קטן מאוד - בין 30 ל-100 עצמים.   

* בתאוריה של סיבוכיות חישובים, אלגוריתמים שונים בעלי סיבוכיות מעריכית דורשים הגדלה מעריכית של משאבי חישוב (זכרון, זמן, מהירות מעבד) עבור גידול לינארי בגדולה של הבעיה. כך שבעיה שזמן הפתרון שלה עבור X=10 יהיה 10 שניות, תדרוש 20 שניות עבור X=11. אלגוריתמים אלה הופכים בדרך כלל לבלתי פתירים בגודל קטן מאוד - בין 30 ל-100 עצמים.   

* הגידול ברשת האינטרנט היה מעריכי, וצפוי לעבור מתישהו לגידול בצורת S - בדומה לחדירת מוצרים רבים אחרים.

* הגידול ברשת האינטרנט היה מעריכי, וצפוי לעבור מתישהו לגידול בצורת S - בדומה לחדירת מוצרים רבים אחרים.

==קישורים חיצוניים==

==קישורים חיצוניים==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_growth גידול מעריכי] בוויקיפדיה האנגלית

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_growth גידול מעריכי] בוויקיפדיה האנגלית

* [http://www.youtube.com/watch?v=hM1x4RljmnE האם בני האדם חכמים יותר משמרים?] סרטון ביוטיוב  

* [http://www.youtube.com/watch?v=hM1x4RljmnE האם בני האדם חכמים יותר משמרים?] סרטון ביוטיוב  

* [http://overshoot.tv/ טלוויזיית ההחטאה מלמעלה] הפקת סרטים תיעודיים להסבר על גידול מעריכי, כושר נשיאה, גלישה מלמעלה וקריסה

* [http://overshoot.tv/ טלוויזיית ההחטאה מלמעלה] הפקת סרטים תיעודיים להסבר על גידול מעריכי, כושר נשיאה, גלישה מלמעלה וקריסה

==הערות שוליים==

==הערות שוליים==