שינויים

פרק 8 של הספר עוסק בקצרה בניתוח דינאמי של הכלכלה.

פרק 8 של הספר עוסק בקצרה בניתוח דינאמי של הכלכלה.

===הפרפר של לורנץ===

===הפרפר של לורנץ===

קין מתחיל בתאור עבודתו של המטאורולוג אי. אנ. לורנץ (E.N Lorentz) משנת 1963. לורנץ  פיתח מודל פיזי פשוט של זרמי מערבולות, כהקדמה לפיתוח מודל מורכב יותר של מערבולות באטמוספירה. המודל הכיל רצועה דקה של מים המוחזקת בין שני לוחות מתכת, שאחד מהם חם יותר מהשני. הבדל הטמפרטורה הזה גרם לזרם מערבולות של מים. לורנץ השתמש בנוסח מפושט של מודל מתמטי ידוע של זרם מערבולת כדי לנסות ולהסביר את תנועת הנוזל. במודל שלו היו רק 3 משוואות עם 3 קבועים ו-3 משתנים, והמערכת משתנה על פני זמן (כך שהמצב של המשתנים בזמן הקודם קובע את מצבם בנקודת הזמן הבאה). המשוואה הראשונה (x) תארה את תנועת הנוזל בכיוון מזרח- מערב; השניה (y) תארה את תנועת הנוזל בגיוון צפון- דרום; והשלישית (z) תארה את שינוי הטמפרטורה כשהנוזל זז מערבה- מזרחה צפונה-ודרומה.   

קין מתחיל בתאור עבודתו של המטאורולוג אי. אנ. לורנץ (E.N Lorentz) משנת 1963. לורנץ  פיתח מודל פיזי פשוט של זרמי מערבולות, כהקדמה לפיתוח מודל מורכב יותר של מערבולות באטמוספירה. המודל הכיל רצועה דקה של מים המוחזקת בין שני לוחות מתכת, שאחד מהם חם יותר מהשני. הבדל הטמפרטורה הזה גרם לזרם מערבולות של מים. לורנץ השתמש בנוסח מפושט של מודל מתמטי ידוע של זרם מערבולת כדי לנסות ולהסביר את תנועת הנוזל. במודל שלו היו רק 3 משוו/אות עם 3 קבועים ו-3 משתנים, והמערכת משתנה על פני זמן (כך שהמצב של המשתנים בזמן הקודם קובע את מצבם בנקודת הזמן הבאה). המשוואה הראשונה (x) תארה את תנועת הנוזל בכיוון מזרח- מערב; השניה (y) תארה את תנועת הנוזל בגיוון צפון- דרום; והשלישית (z) תארה את שינוי הטמפרטורה כשהנוזל זז מערבה- מזרחה צפונה-ודרומה.   

למרות שמשוואות לורנץ הן פשוטות יחסית, ההתנהגות של המערכת היא [[מערכת מורכבת|התנהגות מורכבת]] מאד וקשה לחיזוי. שינוי מזערי בערכים ההתחלתיים של x, y או z, גרם מהר מאוד להתנהגות שונה מאוד של המערכת. ערך y התחלי של 1, וערך התחלי של 1.0001 מובילים לתוצאות שונות מאד. בעבר חשבו שהבדל קטן כזה בכל מדידה התחלית פרושו הבדל קטן בהתנהגות העתידית של המשתנה. תחת זאת, במודל זה, הבדל קטן לא גרם בתחילה לשום אפקט גלוי לעין, אבל לפתע פתאום הוביל לתוצאה שונה לחלוטין. היבט זה נקרא "מופע הפרפר" - כיצד נפנוף כנף של פרפר בצד אחד של העולם יכול, בתנאים מסויימים, להשפיע על נתיבה של סופת הוריקן בצד השני של העולם.  

למרות שמשוו/אות לורנץ הן פשוטות יחסית, ההתנהגות של המערכת היא [[מערכת מורכבת|התנהגות מורכבת]] מאד וקשה לחיזוי. שינוי מזערי בערכים ההתחלתיים של x, y או z, גרם מהר מאוד להתנהגות שונה מאוד של המערכת. ערך y התחלי של 1, וערך התחלי של 1.0001 מובילים לתוצאות שונות מאד. בעבר חשבו שהבדל קטן כזה בכל מדידה התחלית פרושו הבדל קטן בהתנהגות העתידית של המשתנה. תחת זאת, במודל זה, הבדל קטן לא גרם בתחילה לשום אפקט גלוי לעין, אבל לפתע פתאום הוביל לתוצאה שונה לחלוטין. היבט זה נקרא "מופע הפרפר" - כיצד נפנוף כנף של פרפר בצד אחד של העולם יכול, בתנאים מסויימים, להשפיע על נתיבה של סופת הוריקן בצד השני של העולם.  

למרות שהדפוס של כל משתנה יחיד נראה כדבר בלתי צפוי לחלוטין,כאשר משרטטים את 3 המשתנים בגרף אחד, מגיעים למבנה יפיפה ובעל דפוס ברור,  

למרות שהדפוס של כל משתנה יחיד נראה כדבר בלתי צפוי לחלוטין,כאשר משרטטים את 3 המשתנים בגרף אחד, מגיעים למבנה יפיפה ובעל דפוס ברור,  

כיום משוואות לורנץ ידועות בתור "הפרפר של לורנץ" על שם דמיון הגרפים לכנפי פרפר.

כיום משוו/אות לורנץ ידועות בתור "הפרפר של לורנץ" על שם דמיון הגרפים לכנפי פרפר.

ניתוח מפורט של המערכת של לורנץ מגלה שאין לה [[שיווי משקל]] יחיד, כי אם שלושה. כל שלושת שיוויי המשקל הינם בלתי יציבים. סטיה קטנה מכל שיווי משקל תגרום למערכת לנוע במהירות הרחק ממנו. סטיה קטנה מנקודת שיווי המשקל (של 0.00001%) גרמה לכך שהמערכת תנוע הרחק מנקודה זו בצורה מיידית. המערכת מתקרבת לנקודת שיווי משקל אחרת, רק כדי להתרחק ממנה שוב אל עבר השלישית. היא מקיפה את נקודת שיווי המשקל הזאת, רק כדי להזרק הרחק ממנה. לבסוף היא מתקרבת לנקודה השניה ונהדפת ממנה חזרה לנקודה הראשונה.  

ניתוח מפורט של המערכת של לורנץ מגלה שאין לה [[שיווי משקל]] יחיד, כי אם שלושה. כל שלושת שיוויי המשקל הינם בלתי יציבים. סטיה קטנה מכל שיווי משקל תגרום למערכת לנוע במהירות הרחק ממנו. סטיה קטנה מנקודת שיווי המשקל (של 0.00001%) גרמה לכך שהמערכת תנוע הרחק מנקודה זו בצורה מיידית. המערכת מתקרבת לנקודת שיווי משקל אחרת, רק כדי להתרחק ממנה שוב אל עבר השלישית. היא מקיפה את נקודת שיווי המשקל הזאת, רק כדי להזרק הרחק ממנה. לבסוף היא מתקרבת לנקודה השניה ונהדפת ממנה חזרה לנקודה הראשונה.  

שלישית, אם נבצע אקסטרפולציה מהמודל לעולם האמיתי, סביר שמשתנים כלכליים אמיתיים תמיד ימצאו באי שיווי משקל – אפילו בהעדרם של זעזועים חיצוניים (או זעזועים אקסוגניים, כפי שכלכלנים מעדיפים לכנותם), שהם ההסבר הכלכלי המקובל למחזורים – והתנאים שכלכלנים 'הוכיחו' שמתקיימים במצב של שיווי משקל יהיו לכן בלתי רלוונטיים בכלכלה המעשית. ניתוח כלכלי סטטי לא יכול איפה לשמש כקירוב מופשט של ניתוח דינמי: שני סוגי הניתוח יובילו לפרשנות שונה לחלוטין של המציאות. בכל המקרים האלו, הגישה הסטטית תהיה מוטעה לחלוטין ואילו הגישה הדינמית תהיה לפחות נכונה באופן חלקי.  

שלישית, אם נבצע אקסטרפולציה מהמודל לעולם האמיתי, סביר שמשתנים כלכליים אמיתיים תמיד ימצאו באי שיווי משקל – אפילו בהעדרם של זעזועים חיצוניים (או זעזועים אקסוגניים, כפי שכלכלנים מעדיפים לכנותם), שהם ההסבר הכלכלי המקובל למחזורים – והתנאים שכלכלנים 'הוכיחו' שמתקיימים במצב של שיווי משקל יהיו לכן בלתי רלוונטיים בכלכלה המעשית. ניתוח כלכלי סטטי לא יכול איפה לשמש כקירוב מופשט של ניתוח דינמי: שני סוגי הניתוח יובילו לפרשנות שונה לחלוטין של המציאות. בכל המקרים האלו, הגישה הסטטית תהיה מוטעה לחלוטין ואילו הגישה הדינמית תהיה לפחות נכונה באופן חלקי.  

לבסוף, אפילו מערכת פשוטה כמו זו של לורנץ, בעלת 3 משתנים ושלושה קבועים בלבד, יכולה להציג דינמיות מורכבת מאוד היות והאינטראקציה בין המשתנים אינה לינארית (אם תבדקו את המשוואות בהערת השוליים תראו רכיבים כמו x כפול y). כפי שציינו מקודם, יחסים לא לינאריים במודלים של משוואות דיפרנציאליות יכולים להוביל להתנהגות מורכבת ועם זאת חסומה.  

לבסוף, אפילו מערכת פשוטה כמו זו של לורנץ, בעלת 3 משתנים ושלושה קבועים בלבד, יכולה להציג דינמיות מורכבת מאוד היות והאינטראקציה בין המשתנים אינה לינארית (אם תבדקו את המשוו/אות בהערת השוליים תראו רכיבים כמו x כפול y). כפי שציינו מקודם, יחסים לא לינאריים במודלים של משוו/אות דיפרנציאליות יכולים להוביל להתנהגות מורכבת ועם זאת חסומה.  

==ראו גם==

==ראו גם==