פונקציית סיגמואיד
פונקציית סיגמואיד (באנגלית: Sigmoid function) היא פונקציה מתמטית שיש צורה של האות האנגלית "S" (עקומת סיגמואיד). לעתים קרובות, פונקציית סיגמואיד מתייחסת למקרה המיוחד של הפונקציה הלוגיסטית שמוצגת באיור הראשון והוגדרה על ידי הנוסחה
- [math]\displaystyle{ S(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}}. }[/math]
דוגמה נוספת היא עקומת Gompertz. הפונקציה הסיגמואידית משמשת במערכות מודלים של מערכות שיש להן ערך שגדל בקצב מהיר בתחום ההתחלתי של t אבל לאחר מכן מגיעות לרוויה כאשר t גדל. דוגמה נוספת היא עקומת ogee כמו בשימוש ב-spillway של כמה סכרים.
מגוון רחב של פונקציות סיגמואיד משמש לתיאור כפונקציית ההפעלה של תאי עצב מלאכותיים, כוללים הלוגיסטיות והטנגנס ההיפרבולי פונקציות. עקומות סיגמואיד גם הם נפוצות בסטטיסטיקה כפונקציות מצטברות הפצה, כמו אינטגרלים של ההפצה הלוגיסטית, ההתפלגות הנורמלית, ופונקציות צפיפות של התפלגות t.
דוגמאות
פונקציה דומה לפונקציית סיגמואיד מתרחשת במקרים רבים שבהם יש בתחילה לולאת משוב חיובית שגורמת לגידול מהיר בערך כלשהו, ולאחר מכן נכנסות לפעולה לולאות משוב מחלישות שמאטות את קצב הגידול. בין הדוגמאות האלה ניתן למנות:
בפיזיקה וכימיה
מהירות התגובה של תגובות כימיות רבות דומות לפונקציה סיגמואידית בתהליך אוטוקטליטי - בתחילה יש תגובות רבות בין סוגי מולקולות והתגובה עצמה מגדילה את ההסתברות לקיום תגובות נוספות בין מולקולות אחרות, לדוגמה בגלל פליטת חומרי לוואי, אלקטרונים מערערים או חום שמסייע לתגובה, בהמשך ריכוז המולקולות יורד ומהירות התגובה יורדת
דוגמאות בביולוגיה
- גידול של אוכלוסיות חיידקים בצלחת פטרי - בתחילה יש גידול מהיר של החיידקים ולאחר מכן יש הצטברות של חומרי פסולת ומגבלות מזון שמאטות את קצב הגידול של החיידקים.
- גידול של אוכלוסיית בעלי חיים או צמחים של מין פולש במערכת אקולוגית חדשה - המין מתפשט על חשבון מינים אחרים עד שמגבלות של מקורות מזון או טורפים מתחילות להאט את גידול האוכלוסייה.
- מהירות ריצה מקסימלית של אדם כפונקציה של גיל - בתחילה לומדים לזחול, ללכת ואחר כך לרוץ. ככל שגדלים בגיל הגפיים מתארכות והשרירים גדלים ולכן ניתן לרוץ מהר יותר. לאחר מכן מתחילים תהליכי הזקנות המשפיעים על הלב, הריאות ועל מסת השרירים שגורמים לירידה איטית במהירות הריציה המקסימלית.
- הגידול של אוכלוסייה אנושית לפני המהפכה התעשייתית במדינות אי דומה לפונקציה סיגמואידית - בתחילה האוכלוסייה גדלה במהירות עם ההגעה לאי, ולאחר מכן מגבלות משאבים שמרו על אוכלוסייה יציבה.
- גידול אוכלוסיית העולם - דמוגרפים מעריכים כיום כי כלל האוכלוסייה האנושית לא תגדל בצורה מעריכית אלא בצורה סיגמואידית - האוכלוסייה גדלה במהירות בשל שינויים בעקבות המהפכה התעשייתית והמהפכה הירוקה אבל התמחות כלכלית וגורמים נוספים כמו עליית מעמד האישה גורמים להורדת פריון הלידה הממוצע בכל העולם ולמעבר דמוגרפי, דבר זה צפוי ליצור האטה בגידול האוכלוסייה העולמית בעשורים הקרובים ולגרום להתייצבות האוכלוסייה במהלך המאה ה-21.
דוגמאות בכלכלה
- מכירות של מוצר חדש - בתחילה רק קונים נלהבים קונים את המוצר והמכירות שלו איטיות. לאחר מכן אם המוצר טוב הוא מגיע בשיווק פה לאוזן להמוני אנשים, או שלחברה יש מספיק כסף כדי לפרסם את המוצר החדש, בשלב זה המכירות מאיצות. בשלב זה ייתכן גם ביקוש מושרה שבו הביקוש למוצר גדל עם ההיצע. לאחר מכן יש האטה במכירות שכן כמעט כל הביקוש מכוסה.
- מהירות נסיעה ממוצעת בעיר במכונית כפונקציה של מספר המכוניות - בתחילה יש מכוניות מעטות שמאיצות את מהירות הנסיעה, ככל שיש יותר מכוניות יש יותר בעיות של פקקים וחניה שמאיטות את המהירות.
- יתרונות לגודל במקרים רבים יתרונות לגודל עוזרים מאוד בתחום מסויים ולאחר מכן היתרונות שלהם הולכים ונחלשים על ידי חסרונות לגודל.
- רווחה חברתית וצמיחה כלכלית. על פי מספר הוגים (לדוגמה The Spirit Level) ומחקרים, הרווחה החברתית הולכת ונחלשת במדינות בעלות תוצר כלכלי גבוה יותר. כך שבמדינות עשירות המשך צמיחה כלכלית אינו משפיע על הרווחה החברתית, על תוחלת החיים ומגוון גדול של פרמטרים בבריאות ובחברה.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- פונקצייה סיגמואידית בוויקיפדיה האנגלית